Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2754
2017-04-10 
Система, изображенная на рисунке, состоит из длинного бруса с вбитым гвоздём, кубика и соединяющей их пружины. В нерастянутом состоянии длина пружины 12 см. Кубик может скользить по брусу без трения. Первоначально система неподвижна и находится в равновесии. Брус начинают двигать горизонтально с ускорением $a$: сначала, в течение 1 секунды, ускорение бруса направлено влево, затем, в течение следующей секунды, его ускорение направлено вправо, затем - снова влево и т. д. При этом оказалось, что кубик совершает относительно бруска колебания с периодом $T = 2 с$, отклоняясь за этот период от начального положения по одному по одному разу в обе стороны на 1 мм. Опыт повторяют, взяв такую же пружину, но в 4 раза длиннее. Найдите длину пружины через 2 минуты после начала движения.
Решение:
Поскольку в задаче требуется исследовать движение кубика относительно бруска, а сила сжатия пружины зависит лишь от взаимного положения брука и кубика, удобно решать задачу в системе отсчёта, в которой брус неподвижен. Эта система отсчёта неинерциальна, ведь она движется с ускорением вместе с брусом. В ней на кубик кроме пружины будет действовать сила инерции, равная $ma$, где $m$ - масса кубика. Сила эта в любой момент будет направлена в сторону, противоположную ускорению бруса, т.е. в течение первой секунды - вправо, затем, в течение второй секунды, - влево и т. д.
Опишем движение кубика в этой системе отсчёта. Первоначально пружина не растянута, кубик находится в положении равновесия (обозначим координату этой точки $x_{0} = 0$). Однако, при "включении" силы инерции $ma$ положение равновесия кубика на пружинке смещается правее точки $x_{0}$ на $\Delta x = ma/k$ ($k$ - жёсткость пружины), т.е. в точку с координатой $y_{1} = \Delta x$. При этом кубик начинает смещаться в это новое положение равновесия, проскакивает его по инерции вправо и продолжает далее колебательное движение на пружине по гармоническому закону с амплитудой $\Delta x$ (см. рис. 1). К началу второй секунды кубик расположится, таким образом, в некоторой точке $x_{1}$, так что расстояние между $x_{1}$ и $y_{1}$ будет не превышать $\Delta x$, т.е. $x_{1} \in (0, 2 \Delta x$) (где-то в интервале, охватываемом на рисунке 1) фигурной скобкой, помеченной "колебания за первую секунду".
Рис. 1
Рис. 2
Далее "включается" сила инерции, направленная влево, так что положение равновесия кубика теперь находится в точке $y_{2} = - \Delta x$. Кубик теперь колеблется вокруг этой точки с амплитудой $x_{1} - y_{2}$ (и располагается где-то внутри интервала, обозначенного на рисунке как "колебания за вторую секунду").
Из рис. 1 легко понять, что единственный случай, когда максимальное смещение кубика из начального положения $x_{0}$ влево и вправо равны, - это когда $x_{1}$ и $x_{0}$ совпадают, т.е. когда кубик к началу второй секунды оказался в точности в точке $x_{0}$, совершив за первую секунду ровно одно колебание на пружине с периодом $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ m/k} = 1 с$. При дальнейшем движении кубик также будет к моменту "переключения" направления силы инерции возвращаться в точку $x_{0}$, что соответствует условию задачи (см. рис. 2). Максимальное отклонение кубика в каждую сторону $2 \Delta x$ равно по условию 1 мм.
Когда пружину удлинили в 4 раза, её жёсткость уменьшилась в 4 раза и стала равна $k/4$. Действительно, под действием той же силы удлинённая в 4 раза пружина растягивается как суммарно четыре исходных пружины под действием той же силы, т.е. в 4 раза сильнее исходной; это как раз и значит, что жесткость удлинённой пружины в 4 раза меньше жёсткости исходной. Положения равновесия теперь будут сдвигаться при "переключении" силы инерции относительно начального положения на величину $ma/(k/4) = 4 \Delta x = 2 мм$, т.е. в точки $y_{1}^{ \prime} = 2 мм, y_{2}^{ \prime} = - 2 мм$.
При этом период колебаний кубика на такой пружине стал $2 \pi \sqrt{m/4k} = 2T_{0} = 2 с$. Значит, к началу второй секунды кубик совершит только пол-колебания и окажется в точке $x_{1}^{ \prime} = 4 мм$ с нулевой скоростью. В этот момент положение равновесия переместится в точку $y_{2} = - 2 мм$, так что амплитуда следующео колебания составит $x_{1}^{ \prime} - y_{2}^{ \prime} = 6 мм$. К началу третьей секунды кубик снова успеет совершить лишь полколебания, а в момент, когда он окажется в точке $x_{2} = - 8 мм$, положение равновесия переместится в точку $y_{1}$.
Итак, во втором случае кубик будет раскачиваться, так как периодически меняющая сила инерции попала в резонанс колебаниям кубика на бруске.
Рис. 3
Рассуждая аналогично, следующее колебание будет иметь амплитуду 10 мм, и после половины такого колебания кубик окажется в точке $x_{3} = 12 мм$, и т. д., за каждую последующую секунду кубик будет отклоняться от жо на 4 мм больше, чем за предыдущую.
К концу же 120й секунды кубик окажется на расстоянии $120 \cdot 4 = 480 мм = 48 см$ левее точки $x_{0}$. Заметим, что при длине пружины 48 см именно в этот момент кубик ударится о гвоздь.
Ответ: пружина будет сжата на 48 см, кубик ударится о гвоздь.
Система, изображенная на рисунке, состоит из длинного бруса с вбитым гвоздём, кубика и соединяющей их пружины. В нерастянутом состоянии длина пружины 12 см. Кубик может скользить по брусу без трения. Первоначально система неподвижна и находится в равновесии. Брус начинают двигать горизонтально с ускорением $a$: сначала, в течение 1 секунды, ускорение бруса направлено влево, затем, в течение следующей секунды, его ускорение направлено вправо, затем - снова влево и т. д. При этом оказалось, что кубик совершает относительно бруска колебания с периодом $T = 2 с$, отклоняясь за этот период от начального положения по одному по одному разу в обе стороны на 1 мм. Опыт повторяют, взяв такую же пружину, но в 4 раза длиннее. Найдите длину пружины через 2 минуты после начала движения.
Решение:
Поскольку в задаче требуется исследовать движение кубика относительно бруска, а сила сжатия пружины зависит лишь от взаимного положения брука и кубика, удобно решать задачу в системе отсчёта, в которой брус неподвижен. Эта система отсчёта неинерциальна, ведь она движется с ускорением вместе с брусом. В ней на кубик кроме пружины будет действовать сила инерции, равная $ma$, где $m$ - масса кубика. Сила эта в любой момент будет направлена в сторону, противоположную ускорению бруса, т.е. в течение первой секунды - вправо, затем, в течение второй секунды, - влево и т. д.
Опишем движение кубика в этой системе отсчёта. Первоначально пружина не растянута, кубик находится в положении равновесия (обозначим координату этой точки $x_{0} = 0$). Однако, при "включении" силы инерции $ma$ положение равновесия кубика на пружинке смещается правее точки $x_{0}$ на $\Delta x = ma/k$ ($k$ - жёсткость пружины), т.е. в точку с координатой $y_{1} = \Delta x$. При этом кубик начинает смещаться в это новое положение равновесия, проскакивает его по инерции вправо и продолжает далее колебательное движение на пружине по гармоническому закону с амплитудой $\Delta x$ (см. рис. 1). К началу второй секунды кубик расположится, таким образом, в некоторой точке $x_{1}$, так что расстояние между $x_{1}$ и $y_{1}$ будет не превышать $\Delta x$, т.е. $x_{1} \in (0, 2 \Delta x$) (где-то в интервале, охватываемом на рисунке 1) фигурной скобкой, помеченной "колебания за первую секунду".
Рис. 1
Рис. 2
Далее "включается" сила инерции, направленная влево, так что положение равновесия кубика теперь находится в точке $y_{2} = - \Delta x$. Кубик теперь колеблется вокруг этой точки с амплитудой $x_{1} - y_{2}$ (и располагается где-то внутри интервала, обозначенного на рисунке как "колебания за вторую секунду").
Из рис. 1 легко понять, что единственный случай, когда максимальное смещение кубика из начального положения $x_{0}$ влево и вправо равны, - это когда $x_{1}$ и $x_{0}$ совпадают, т.е. когда кубик к началу второй секунды оказался в точности в точке $x_{0}$, совершив за первую секунду ровно одно колебание на пружине с периодом $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ m/k} = 1 с$. При дальнейшем движении кубик также будет к моменту "переключения" направления силы инерции возвращаться в точку $x_{0}$, что соответствует условию задачи (см. рис. 2). Максимальное отклонение кубика в каждую сторону $2 \Delta x$ равно по условию 1 мм.
Когда пружину удлинили в 4 раза, её жёсткость уменьшилась в 4 раза и стала равна $k/4$. Действительно, под действием той же силы удлинённая в 4 раза пружина растягивается как суммарно четыре исходных пружины под действием той же силы, т.е. в 4 раза сильнее исходной; это как раз и значит, что жесткость удлинённой пружины в 4 раза меньше жёсткости исходной. Положения равновесия теперь будут сдвигаться при "переключении" силы инерции относительно начального положения на величину $ma/(k/4) = 4 \Delta x = 2 мм$, т.е. в точки $y_{1}^{ \prime} = 2 мм, y_{2}^{ \prime} = - 2 мм$.
При этом период колебаний кубика на такой пружине стал $2 \pi \sqrt{m/4k} = 2T_{0} = 2 с$. Значит, к началу второй секунды кубик совершит только пол-колебания и окажется в точке $x_{1}^{ \prime} = 4 мм$ с нулевой скоростью. В этот момент положение равновесия переместится в точку $y_{2} = - 2 мм$, так что амплитуда следующео колебания составит $x_{1}^{ \prime} - y_{2}^{ \prime} = 6 мм$. К началу третьей секунды кубик снова успеет совершить лишь полколебания, а в момент, когда он окажется в точке $x_{2} = - 8 мм$, положение равновесия переместится в точку $y_{1}$.
Итак, во втором случае кубик будет раскачиваться, так как периодически меняющая сила инерции попала в резонанс колебаниям кубика на бруске.
Рис. 3
Рассуждая аналогично, следующее колебание будет иметь амплитуду 10 мм, и после половины такого колебания кубик окажется в точке $x_{3} = 12 мм$, и т. д., за каждую последующую секунду кубик будет отклоняться от жо на 4 мм больше, чем за предыдущую.
К концу же 120й секунды кубик окажется на расстоянии $120 \cdot 4 = 480 мм = 48 см$ левее точки $x_{0}$. Заметим, что при длине пружины 48 см именно в этот момент кубик ударится о гвоздь.
Ответ: пружина будет сжата на 48 см, кубик ударится о гвоздь.
