ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-04-09   
Тело движется в некоторой среде. Известно, что сила сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости тела. Известно, что скорость тела уменьшилась в 2 раза, через время $T$ после начала движения. Через какое время после этого скорость тела уменьшится еще втрое? Всеми другими силами, кроме силы сопротивления среды, пренебречь.


Решение:


Обозначим силу сопротивления среды как $F = \alpha v^{2}$. Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемого тела в проекциях на ось, направленную вдоль движения тела, дает

$\Delta v = - kv^{2} \Delta t$

где $k = \alpha /m$ ($m$ - масса тела). Или

$- \frac{ \Delta v}{v^{2}} = k \Delta t$

Но величина в левой части есть приращение величины $1/v$ (вместе со знаком), величина в правой части - приращение величины $kt$. Поэтому приращение величины $kt - \frac{1}{v}$ равно нулю

$\Delta \left ( kt - \frac{1}{v} \right ) = 0$

а, следовательно, сама величина в скобках есть постоянная

$kt - \frac{1}{v} = C$

Используя это соотношение для двукратного уменьшения скорости, получим

$- \frac{1}{v} = kT - \frac{2}{v} \Rightarrow T = \frac{1}{kv}$

Поэтому для шестикратного (по сравнению с начальной скоростью) уменьшения скорости имеем

$kT - \frac{2}{v} = k(T + T_{1}) - \frac{6}{v} \Rightarrow T_{1} = \frac{4}{kv}$

где $T_{1}$ - искомое время, через которое скорость тела уменьшилась еще в три раза. Отсюда получаем

$T_{1} = 4T$