Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2752
2017-04-09 
Блок склеен из двух дисков с радиусами $R$ и $2R$, насаженных на одну и ту же горизонтальную ось, и подвешен к горизонтальному потолку. На блоки намотана невесомая нерастяжимая нить, к которой прикреплен груз массой $m$, как это показано на рисунке. Нить охватывает также нижний блок, размеры которого подобраны так, что все отрезки нити вертикальны. Второй груз массой $3m$ прикреплен к оси нижнего блока. Найти ускорение тел. Блоки невесомы.
Решение:
Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для обоих тел дает
$3m \vec{a}_{1} = 3m \vec{g} + \vec{T}_{1} + vec{T}_{2}$
$m \vec{a}_{2} = m \vec{g} + \vec{T}$
где $a_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ - ускорения тел с массами $3m$ и $m$ соответственно (остальные обозначения очевидны из рисунка). Или проекциях на ось $x$, направленную вертикально вниз
$3ma_{1x} = 3mg + T_{1} - T_{2}$ (*)
$ma_{2x} = mg - T$
Установим условия связи между неизвестными. Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы $\vec{T}_{1}$, направленные вверх, и сила $\vec{T}$, направленная вниз, то $T = 2T_{1}$. Верхний блок вращают силы $T_{2}$ с плечом $R/2$ и сила $T_{1}$ с плечом $R$. А поскольку он также не имеет массы, то его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому
$T_{1}R = T_{2}R/2 \Rightarrow T_{2} = 2T_{1}$
В результате система уравнений (*) принимает вид
$3ma_{1x} = 3mg - T_{1}$ (**)
$ma_{2x} = mg - 2T_{1}$
Найдем теперь связь ускорений. Во-первых, ясно, что ускорения тел будут направлены противоположно. Действительно, если тело $3m$ опускается, то нить сматывается с маленького блока, но одновременно наматывается на большой блок. А поскольку блоки склеены, они поворачиваются на один и тот же угол, и на большой блок намотается больше веревки, и нижний блок поднимется. Поэтому если тело $3m$ спустилось на $\Delta l$, на большой блок намотается $2 \Delta l$, веревка станет короче на $\Delta l$, нижний блок поднимется на $\Delta l/2$. Следовательно, если ускорение тела $3m$ равно $a$ и направлено вниз, ускорение тела $m$ равно $a/2$ и направлено вверх. И наоборот. Поэтому
$a_{2x} = - a_{1x}/2$
В результате система уравнений (**) примет вид
$3ma_{1x} = 3mg - T_{1}$ (***)
$ma_{1x}/2 = 2T_{1} - mg$
Умножая первое уравнение системы (***) на 2 и складывая уравнения, найдем, что ускорение тела с массой $3m$ направлено вниз и равно
$a_{1} = \frac{10}{13} g$,
а ускорение тела с массой $m$ направлено вверх и равно
$a_{2} = \frac{5}{13} g$
Блок склеен из двух дисков с радиусами $R$ и $2R$, насаженных на одну и ту же горизонтальную ось, и подвешен к горизонтальному потолку. На блоки намотана невесомая нерастяжимая нить, к которой прикреплен груз массой $m$, как это показано на рисунке. Нить охватывает также нижний блок, размеры которого подобраны так, что все отрезки нити вертикальны. Второй груз массой $3m$ прикреплен к оси нижнего блока. Найти ускорение тел. Блоки невесомы.
Решение:
Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для обоих тел дает
$3m \vec{a}_{1} = 3m \vec{g} + \vec{T}_{1} + vec{T}_{2}$
$m \vec{a}_{2} = m \vec{g} + \vec{T}$
где $a_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ - ускорения тел с массами $3m$ и $m$ соответственно (остальные обозначения очевидны из рисунка). Или проекциях на ось $x$, направленную вертикально вниз
$3ma_{1x} = 3mg + T_{1} - T_{2}$ (*)
$ma_{2x} = mg - T$
Установим условия связи между неизвестными. Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы $\vec{T}_{1}$, направленные вверх, и сила $\vec{T}$, направленная вниз, то $T = 2T_{1}$. Верхний блок вращают силы $T_{2}$ с плечом $R/2$ и сила $T_{1}$ с плечом $R$. А поскольку он также не имеет массы, то его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому
$T_{1}R = T_{2}R/2 \Rightarrow T_{2} = 2T_{1}$
В результате система уравнений (*) принимает вид
$3ma_{1x} = 3mg - T_{1}$ (**)
$ma_{2x} = mg - 2T_{1}$
Найдем теперь связь ускорений. Во-первых, ясно, что ускорения тел будут направлены противоположно. Действительно, если тело $3m$ опускается, то нить сматывается с маленького блока, но одновременно наматывается на большой блок. А поскольку блоки склеены, они поворачиваются на один и тот же угол, и на большой блок намотается больше веревки, и нижний блок поднимется. Поэтому если тело $3m$ спустилось на $\Delta l$, на большой блок намотается $2 \Delta l$, веревка станет короче на $\Delta l$, нижний блок поднимется на $\Delta l/2$. Следовательно, если ускорение тела $3m$ равно $a$ и направлено вниз, ускорение тела $m$ равно $a/2$ и направлено вверх. И наоборот. Поэтому
$a_{2x} = - a_{1x}/2$
В результате система уравнений (**) примет вид
$3ma_{1x} = 3mg - T_{1}$ (***)
$ma_{1x}/2 = 2T_{1} - mg$
Умножая первое уравнение системы (***) на 2 и складывая уравнения, найдем, что ускорение тела с массой $3m$ направлено вниз и равно
$a_{1} = \frac{10}{13} g$,
а ускорение тела с массой $m$ направлено вверх и равно
$a_{2} = \frac{5}{13} g$
