Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2747
2017-04-09 
С идеальным газом проводят циклический процесс 1-2-3-4-1, состоящий из двух изотерм (1-2 и 3-4) и двух изобар (2-3 и 4-1; см. рисунок). Известно, что отношение температур на изотермах 1-2 и 3-4 равно $T_{3-4}/T_{1-2} = 2$, а на участке изотермического расширения газ получал в 3 раза больше тепла, чем на участке изобарического нагревания 2-3. Найти КПД цикла.
Решение:
Пусть на участке изобарического нагревания 2-3 газ получил количество теплоты $Q$. Тогда на участке изотермического расширения 3-4 газ получил количество теплоты $3Q$. И, следовательно, количество теплоты, полученное о нагревателя, в течение цикла, равно
$Q_{н} = 4Q$
Найдем работу газа за цикл. Очевидно, работа газа на участке 2-3 и работа газа на участке 4-1 равны по модулю. Действительно, работа газа в изобарическом процессе при давлении $p$ с изменением объема $\Delta V$ равна
$A = p \Delta V = \nu R \Delta T$
т.е. определяется только разностью начальной и конечной температур, которая в процессах 2-3 и 4-1 отличается только знаком. Поэтому работа газа за цикл равна $A_{цикла} = A_{3-4} + A_{1-2}$. Работу газа в этих процессах найдем как площадь под графиком зависимости давление от объема. Очевидно, эти площади отличаются в 2 раза. Действительно, из закона Клапейрона-Менделеева следует, что объем газа в состоянии 3 в два раза больше объема в состоянии 2: $V_{3} = 2_{2}$, а объем в стоянии 4 в два раза больше объема в состоянии 1: $V_{1} = 2V_{4}$. Следовательно, изменение объема газа в процессе 3-4 в два раза больше изменения объема газа в процессе 1-2: $\Delta V_{1-2} = 2 \Delta V_{3-4}$. Поэтому если разбить изменение объема $\Delta V_{1-2}$ на малые элементы $\Delta V_{i}$, то изменение объема $\Delta V_{3-4}$ можно разбить на такое же количество элементов, каждый из которых вдвое больше соответствующего элемента $\Delta V_{i} - 2 \Delta V_{i}$, а давление газа в пределах соответствующих элементов одинаковое. В результате для работы газа имеем
$A_{1-2} = - 2A_{3-4}$
А поскольку процесс 3-4 изотермический, работа газа равна количеству теплоты, полученному в этом процессе: $A_{3-4} = 3Q$. Отсюда получаем $A_{цикла} = 3Q - 3Q/2 = 3Q/2$. Поэтому КПД цикла есть
$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{н}} = \frac{3Q/2}{4Q} = \frac{3}{8} = 0,375$
С идеальным газом проводят циклический процесс 1-2-3-4-1, состоящий из двух изотерм (1-2 и 3-4) и двух изобар (2-3 и 4-1; см. рисунок). Известно, что отношение температур на изотермах 1-2 и 3-4 равно $T_{3-4}/T_{1-2} = 2$, а на участке изотермического расширения газ получал в 3 раза больше тепла, чем на участке изобарического нагревания 2-3. Найти КПД цикла.
Решение:
Пусть на участке изобарического нагревания 2-3 газ получил количество теплоты $Q$. Тогда на участке изотермического расширения 3-4 газ получил количество теплоты $3Q$. И, следовательно, количество теплоты, полученное о нагревателя, в течение цикла, равно
$Q_{н} = 4Q$
Найдем работу газа за цикл. Очевидно, работа газа на участке 2-3 и работа газа на участке 4-1 равны по модулю. Действительно, работа газа в изобарическом процессе при давлении $p$ с изменением объема $\Delta V$ равна
$A = p \Delta V = \nu R \Delta T$
т.е. определяется только разностью начальной и конечной температур, которая в процессах 2-3 и 4-1 отличается только знаком. Поэтому работа газа за цикл равна $A_{цикла} = A_{3-4} + A_{1-2}$. Работу газа в этих процессах найдем как площадь под графиком зависимости давление от объема. Очевидно, эти площади отличаются в 2 раза. Действительно, из закона Клапейрона-Менделеева следует, что объем газа в состоянии 3 в два раза больше объема в состоянии 2: $V_{3} = 2_{2}$, а объем в стоянии 4 в два раза больше объема в состоянии 1: $V_{1} = 2V_{4}$. Следовательно, изменение объема газа в процессе 3-4 в два раза больше изменения объема газа в процессе 1-2: $\Delta V_{1-2} = 2 \Delta V_{3-4}$. Поэтому если разбить изменение объема $\Delta V_{1-2}$ на малые элементы $\Delta V_{i}$, то изменение объема $\Delta V_{3-4}$ можно разбить на такое же количество элементов, каждый из которых вдвое больше соответствующего элемента $\Delta V_{i} - 2 \Delta V_{i}$, а давление газа в пределах соответствующих элементов одинаковое. В результате для работы газа имеем
$A_{1-2} = - 2A_{3-4}$
А поскольку процесс 3-4 изотермический, работа газа равна количеству теплоты, полученному в этом процессе: $A_{3-4} = 3Q$. Отсюда получаем $A_{цикла} = 3Q - 3Q/2 = 3Q/2$. Поэтому КПД цикла есть
$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{н}} = \frac{3Q/2}{4Q} = \frac{3}{8} = 0,375$
