Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2744
2017-04-09 
Автомобиль, движущийся по прямому шоссе, издает продолжительный звуковой сигнал. Датчики, распложенные по и против хода движения автомобиля, зарегистрировали длительности сигнала $\Delta t$ и $1,05 \Delta t$. Какую длительность сигнала зарегистрировал, расположенный по, а какую против направления движения автомобиля? Найти скорость автомобиля, если скорость звука в воздухе равна $c$.
Решение:
За время, прошедшее между началом и концом звукового сигнала, автомобиль приблизился к датчику, расположенному по направлению его движения и удалился от противоположного. Поэтому «конец звукового сигнала» придет к датчику, расположенному по направлению движения автомобиля быстрее, чем он был издан автомобилем, и позже ко второму датчику. Поэтому датчик, расположенный по движению автомобиля зарегистрирует более, короткий сигнал, второй датчик - более длинный. Найдем длительность этих сигналов.
Пусть длительность звукового сигнала в системе отсчета, связанной с автомобилем, равна $\Delta \tau$, скорость автомобиля - $v$, скорость звука - $c$. Пусть, кроме того, автомобиль начал издавать звуковой сигнал, когда он находился на расстоянии $x$ от датчика, расположенного по направлению движения автомобиля, и $y$, от датчика, расположенного противоположно направлению его движения. Тогда начало звукового сигнала будет зарегистрировано датчиками через интервалы времени
$t_{по} = \frac{x}{c}, t_{против} = \frac{y}{c}$
после его излучения автомобилем. «Конец звукового сигнала» будет излучен, когда автомобиль будет находиться на расстоянии $x + v \Delta \tau$ и $y - v \Delta \tau$ от датчиков. Поэтому он придет к датчикам через интервалы времени
$t_{по}^{ \prime} = \frac{x - v \Delta \tau}{c}, t_{против}^{ \prime} = \frac{y + v \Delta \tau}{c}$
после излучения. Поэтому датчик, расположенный по направлению движения автомобиля, зарегистрирует следующую длительность сигнала
$\Delta \tau_{по} = \Delta \tau + t_{по}^{ \prime} - t_{по} = \Delta \tau + \frac{x - v \Delta \tau}{c} - \frac{x}{c} = \Delta \tau - \frac{v \Delta \tau}{c} = \Delta \tau \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )$
А датчик, расположенный против направления движения, следующую
$\Delta \tau_{против} = \Delta \tau + t_{против}^{ \prime} - t_{против} = \Delta \tau + \frac{y + v \Delta \tau}{c} - \frac{y}{c} = \Delta \tau + \frac{v \Delta \tau}{c} = \Delta \tau \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )$
Отсюда заключаем, что большую длительность $1,05 \Delta t$ зарегистрирует датчик, расположенный против направления движения $1,05 \Delta t = \Delta \tau_{против}$, а меньшую длительность $\Delta t$ - датчик, расположенный по направлению движения $\Delta t = \Delta \tau_{по}$. Также из этих формул следует, что
$0,05 \Delta t = \Delta \tau_{против} - \Delta \tau_{по} = \frac{2v}{c}$ и $2,05 \Delta t = \Delta \tau_{против} + \Delta \tau_{по} = 2 \Delta \tau$
Поэтому
$v \frac{( \Delta \tau_{против})c}{ \Delta \tau_{против} + \Delta \tau_{по}} = \frac{0,05}{2,05} c = 0,024 c = 7,2 м/с$
Автомобиль, движущийся по прямому шоссе, издает продолжительный звуковой сигнал. Датчики, распложенные по и против хода движения автомобиля, зарегистрировали длительности сигнала $\Delta t$ и $1,05 \Delta t$. Какую длительность сигнала зарегистрировал, расположенный по, а какую против направления движения автомобиля? Найти скорость автомобиля, если скорость звука в воздухе равна $c$.
Решение:
За время, прошедшее между началом и концом звукового сигнала, автомобиль приблизился к датчику, расположенному по направлению его движения и удалился от противоположного. Поэтому «конец звукового сигнала» придет к датчику, расположенному по направлению движения автомобиля быстрее, чем он был издан автомобилем, и позже ко второму датчику. Поэтому датчик, расположенный по движению автомобиля зарегистрирует более, короткий сигнал, второй датчик - более длинный. Найдем длительность этих сигналов.
Пусть длительность звукового сигнала в системе отсчета, связанной с автомобилем, равна $\Delta \tau$, скорость автомобиля - $v$, скорость звука - $c$. Пусть, кроме того, автомобиль начал издавать звуковой сигнал, когда он находился на расстоянии $x$ от датчика, расположенного по направлению движения автомобиля, и $y$, от датчика, расположенного противоположно направлению его движения. Тогда начало звукового сигнала будет зарегистрировано датчиками через интервалы времени
$t_{по} = \frac{x}{c}, t_{против} = \frac{y}{c}$
после его излучения автомобилем. «Конец звукового сигнала» будет излучен, когда автомобиль будет находиться на расстоянии $x + v \Delta \tau$ и $y - v \Delta \tau$ от датчиков. Поэтому он придет к датчикам через интервалы времени
$t_{по}^{ \prime} = \frac{x - v \Delta \tau}{c}, t_{против}^{ \prime} = \frac{y + v \Delta \tau}{c}$
после излучения. Поэтому датчик, расположенный по направлению движения автомобиля, зарегистрирует следующую длительность сигнала
$\Delta \tau_{по} = \Delta \tau + t_{по}^{ \prime} - t_{по} = \Delta \tau + \frac{x - v \Delta \tau}{c} - \frac{x}{c} = \Delta \tau - \frac{v \Delta \tau}{c} = \Delta \tau \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )$
А датчик, расположенный против направления движения, следующую
$\Delta \tau_{против} = \Delta \tau + t_{против}^{ \prime} - t_{против} = \Delta \tau + \frac{y + v \Delta \tau}{c} - \frac{y}{c} = \Delta \tau + \frac{v \Delta \tau}{c} = \Delta \tau \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )$
Отсюда заключаем, что большую длительность $1,05 \Delta t$ зарегистрирует датчик, расположенный против направления движения $1,05 \Delta t = \Delta \tau_{против}$, а меньшую длительность $\Delta t$ - датчик, расположенный по направлению движения $\Delta t = \Delta \tau_{по}$. Также из этих формул следует, что
$0,05 \Delta t = \Delta \tau_{против} - \Delta \tau_{по} = \frac{2v}{c}$ и $2,05 \Delta t = \Delta \tau_{против} + \Delta \tau_{по} = 2 \Delta \tau$
Поэтому
$v \frac{( \Delta \tau_{против})c}{ \Delta \tau_{против} + \Delta \tau_{по}} = \frac{0,05}{2,05} c = 0,024 c = 7,2 м/с$
