Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2743
2017-04-09 
На поверхности стола расположен вертикальный цилиндр радиуса $R$, на который намотана длинная невесомая нерастяжимая нить. К концу свободного куска нити, длина которого равна $l_{0}$, привязано тело. Телу сообщают скорость $v$, направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на цилиндр (см. рисунок, вид сверху). Найти время, за которое на цилиндр намотается одна пятая часть нити. Трение отсутствует.
Решение:
Установим зависимость угла поворота нити от времени. Во-первых, заметим, что нить в процессе движения тела всегда перпендикулярна скорости тела (нить не «сминается» и не растягивается). Поэтому сила натяжения не совершает над телом работу, и, следовательно, тело движется с постоянной скоростью. Угловая же скорость тела изменяется, поскольку его движение в течение каждого малого интервала времени есть вращение вокруг той точки, где нить отходит от цилиндра, а длина нити изменяется.
Пусть к некоторому моменту времени $t$ нить повернулась на угол $\alpha$ по сравнению с первоначальным положением. Установим связь между $t$ и $\alpha$. Поскольку к этому моменту на цилиндр намоталась нить длиной $\alpha R$, то для длины нити справедливо соотношение
$l = l_{0} - \alpha R$ (1)
Из формулы (1) следует, что угловая скорость нити в этот момент будет равна $\omega = v/(l_{0} - \alpha R)$. Поэтому за бесконечно малый интервал времени $\Delta t$ около момента времени $t$ нить повернется на бесконечно малый угол
$\Delta \alpha = \omega \Delta t= \frac{ v \Delta t}{l_{0} - \alpha R}$ (2)
Из формулы (2) можно найти производную функции $t( \alpha)$:
$t^{ \prime}( \alpha) = \frac{ \Delta t}{ \Delta \alpha} = \frac{l_{0}}{v} - \frac{R}{v} \alpha$ (3)
Из формулы (3) следует, что производная функции $t( \alpha)$ зависит от своего аргумента a так же, как скорость равноускоренно движущегося тела зависит от времени
$x^{ \prime}(t) = v_{0} + at$ (4)
Поэтому зависимость $t( \alpha)$ - такая же, как и зависимость координаты равноускоренно движущегося тела от времени
$x(t) = x_{0} + v_{0}t + \frac{at^{2}}{2}$ (5)
Причем, как это следует из сравнения (3) и (4), в качестве $v_{0}$ и $a$ в зависимости $t( \alpha)$ нужно использовать величины $l_{0}/v$ и $-R/v$:
$t( \alpha) = t_{0} + \frac{l_{0}}{v} \alpha - \frac{R}{v} \frac{ \alpha^{2}}{2}$ (6)
Величина $t_{0}$ в выражении (5) имеет смысл «начального» значения времени, т.е. времени, отвечающего повороту на нулевой угол. Поэтому эту величину нужно положить равной нулю. В результате имеем окончательно
$t( \alpha) = \frac{l_{0}}{v} \alpha - \frac{R}{v} \frac{ \alpha^{2}}{2}$ (7)
Из зависимости (7) легко найти время $\tau$, необходимое для полной намотки одной пятой части нити на цилиндр. Когда такая длина намотается на цилиндр, нить повернется на угол $\alpha = l_{0}/5R$. Поэтому для времени $\tau$ имеем из (7):
$\tau = \frac{l_{0}}{v} \frac{l_{0}}{5R} - \frac{R}{v} \frac{l_{0}^{2}}{502R^{2}} = \frac{9l_{0}^{2}}{50vR}$
На поверхности стола расположен вертикальный цилиндр радиуса $R$, на который намотана длинная невесомая нерастяжимая нить. К концу свободного куска нити, длина которого равна $l_{0}$, привязано тело. Телу сообщают скорость $v$, направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на цилиндр (см. рисунок, вид сверху). Найти время, за которое на цилиндр намотается одна пятая часть нити. Трение отсутствует.
На поверхности стола расположен вертикальный цилиндр радиуса $R$, на который намотана длинная невесомая нерастяжимая нить. К концу свободного куска нити, длина которого равна $l_{0}$, привязано тело. Телу сообщают скорость $v$, направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на цилиндр (см. рисунок, вид сверху). Найти время, за которое на цилиндр намотается одна пятая часть нити. Трение отсутствует.
Решение:
Установим зависимость угла поворота нити от времени. Во-первых, заметим, что нить в процессе движения тела всегда перпендикулярна скорости тела (нить не «сминается» и не растягивается). Поэтому сила натяжения не совершает над телом работу, и, следовательно, тело движется с постоянной скоростью. Угловая же скорость тела изменяется, поскольку его движение в течение каждого малого интервала времени есть вращение вокруг той точки, где нить отходит от цилиндра, а длина нити изменяется.
Пусть к некоторому моменту времени $t$ нить повернулась на угол $\alpha$ по сравнению с первоначальным положением. Установим связь между $t$ и $\alpha$. Поскольку к этому моменту на цилиндр намоталась нить длиной $\alpha R$, то для длины нити справедливо соотношение
$l = l_{0} - \alpha R$ (1)
Из формулы (1) следует, что угловая скорость нити в этот момент будет равна $\omega = v/(l_{0} - \alpha R)$. Поэтому за бесконечно малый интервал времени $\Delta t$ около момента времени $t$ нить повернется на бесконечно малый угол
$\Delta \alpha = \omega \Delta t= \frac{ v \Delta t}{l_{0} - \alpha R}$ (2)
Из формулы (2) можно найти производную функции $t( \alpha)$:
$t^{ \prime}( \alpha) = \frac{ \Delta t}{ \Delta \alpha} = \frac{l_{0}}{v} - \frac{R}{v} \alpha$ (3)
Из формулы (3) следует, что производная функции $t( \alpha)$ зависит от своего аргумента a так же, как скорость равноускоренно движущегося тела зависит от времени
$x^{ \prime}(t) = v_{0} + at$ (4)
Поэтому зависимость $t( \alpha)$ - такая же, как и зависимость координаты равноускоренно движущегося тела от времени
$x(t) = x_{0} + v_{0}t + \frac{at^{2}}{2}$ (5)
Причем, как это следует из сравнения (3) и (4), в качестве $v_{0}$ и $a$ в зависимости $t( \alpha)$ нужно использовать величины $l_{0}/v$ и $-R/v$:
$t( \alpha) = t_{0} + \frac{l_{0}}{v} \alpha - \frac{R}{v} \frac{ \alpha^{2}}{2}$ (6)
Величина $t_{0}$ в выражении (5) имеет смысл «начального» значения времени, т.е. времени, отвечающего повороту на нулевой угол. Поэтому эту величину нужно положить равной нулю. В результате имеем окончательно
$t( \alpha) = \frac{l_{0}}{v} \alpha - \frac{R}{v} \frac{ \alpha^{2}}{2}$ (7)
Из зависимости (7) легко найти время $\tau$, необходимое для полной намотки одной пятой части нити на цилиндр. Когда такая длина намотается на цилиндр, нить повернется на угол $\alpha = l_{0}/5R$. Поэтому для времени $\tau$ имеем из (7):
$\tau = \frac{l_{0}}{v} \frac{l_{0}}{5R} - \frac{R}{v} \frac{l_{0}^{2}}{502R^{2}} = \frac{9l_{0}^{2}}{50vR}$
На поверхности стола расположен вертикальный цилиндр радиуса $R$, на который намотана длинная невесомая нерастяжимая нить. К концу свободного куска нити, длина которого равна $l_{0}$, привязано тело. Телу сообщают скорость $v$, направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на цилиндр (см. рисунок, вид сверху). Найти время, за которое на цилиндр намотается одна пятая часть нити. Трение отсутствует.
