ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-04-09   
Маленькое колечко движется по гладкой спице ММ. Начало движения колечка - точка М - лежит на прямой АВ, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту, конец - точка N - на горизонтали СD, на расстоянии $l$ от точки О пересечения горизонтали СD с наклонной прямой АВ. На каком расстоянии от точки O должна быть расположена точка М, чтобы время движения колечка от точки М до точки N было минимальным?



Решение:


Пусть длина отрезка МО равна $x$. Длину отрезка МN находим по теореме косинусов

$MN = \sqrt{l^{2} + x^{2} -2lx \cos \alpha}$

А угол MNO (обозначим его $\beta$) - по теореме синусов

$\frac{x}{ \sin \beta} = \frac{ \sqrt{l^{2} + x^{2} - 2lx \cos \alpha}}{ \sin \alpha} \Rightarrow \sin \beta = \frac{x \sin \alpha}{ \sqrt{l^{2} + x^{2} - 2lx \cos \alpha}}$

Поскольку ускорение колечка при его движении по спице MN равно $g \sin \beta$, то время его спуска можно найти из соотношения

$\sqrt{l^{2} + x^{2} - 2lx \cos \alpha} = \frac{g \sin \beta t^{2}}{2}$

Используя далее соотношение для $\sin \beta$, получим

$t^{2} = \frac{2(l^{2} + x^{2} - 2lx \cos \alpha)}{gx \sin \alpha}$

Найдем $x$, отвечающее минимуму этой функции. Дифференцируя и приравнивая производную к нулю, получим

$\frac{2x - 2l \cos \alpha 2}{gx \sin \alpha } - \frac{(l^{2} + x^{2} - 2lx \cos \alpha)}{gx^{2} \sin \alpha} = \frac{2x^{2} - 2lx \cos \alpha 2 - l^{2} - x^{2} + 2lx \cos \alpha}{gx^{2} \sin \alpha} = \frac{x^{2} - l^{2}}{gx^{2} \sin \alpha} = 0$

Откуда получаем

$MO = l$