ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-04-07   
Для промышленной «распилки» ледяного бруса используется тепловой нож, представляющий собой подвижный стальной вертикальный стержень AB радиуса $r = 1,0 мм$, подключенный к источнику постоянного напряжения $U = 5 В$. Стержень в процессе работы достаточно медленно перемещают перпендикулярно длинной стороне бруса.
1) за какое время $t_{1}$ нож «перепилит» неподвижный ледяной брус прямоугольного сечения $a \times b = 1,0 м \times 0,50 м$. С какой скоростью $v$ при этом необходимо двигать нож?
2) для разрезания бруса «под углом» одновременно с движением ножа брус
продвигают в перпендикулярном направлении со скоростью $u = 3,0 \frac{мм}{с}$. Найдите время $t_{2}$ разреза в этом случае и угол $\alpha$ при вершине бруса выходе с конвейера.
Считайте, что длина стержня равна высоте бруса, и все количество теплоты, выделяемое в системе, идет только на плавление льда. Лед находится при температуре плавления. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^{5} \frac{Дж}{кг}$, плотность льда $\rho = 9,2 \cdot 10^{2} \frac{кк}{м^{3}}$, удельное сопротивление стали $\rho^{*} = 9,8 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м$.



Решение:


а) процесс разрезания бруса представляет собой процесс плавления той области образца, где проходит нож. Следовательно, необходимо расплавить слой льда массой

$m = \rho V = \rho ab 2r$, (1)

где $\rho$ - плотность льда. Для этого потребуется количество теплоты

$Q = \lambda m = 2 \lambda \rho abr$, (2)

которое должно выделится на резисторе сопротивлением

$R = \rho^{*} \frac{l}{S} = \rho^{*} \frac{b}{ \pi r^{2}}$, (3)

где $\rho^{*}$ - удельное сопротивление стали. С учетом закона Джоуля-Ленца можем записать

$\frac{U^{2}}{R} t_{1} = \lambda m \Rightarrow \{ (1) - (3)\} \Rightarrow \frac{U^{2} \pi r^{2}}{ \rho^{*} bs} t_{1} = 2 \lambda \rho abr$. (4)

Из (4) находим искомое время

$t_{1} = \frac{2 \lambda \rho \rho^{*} ab^{2}}{U^{2} \pi r} = 1,9 \cdot 10^{2} с$. (5)

Соответственно, для скорости движения ножа получаем

$v = \frac{a}{t_{1}} = \frac{U^{2} \pi r}{2 \lambda \rho \rho^{*} b^{2}} = 5,3 \cdot 10^{-3} \frac{м}{с^{2}} = 5,3 \frac{мм}{с}$. (6)

Из анализа (6) видно, что при заданных параметрах системы скорость движения ножа относительно бруса является постоянной величиной и не зависит от толщины $a$ бруса.

б) Для решения задачи в этом случае перейдем в подвижную систему отсчета, связанную с брусом, т.е. движущуюся влево со скоростью $\vec{u}$. Согласно преобразованиям Галилея при таком переходе (прямом) скорость ножа относительно земли $\vec{w}$ связана с относительной скоростью $\vec{v}$ следующим образом

$\vec{v} = \vec{w} - \vec{u}$. (7)

Поскольку скорость движения ножа относительно бруса (6) не может измениться по модулю (см. пункт а)), то из прямоугольного треугольника скоростей, соответствующего преобразованиям Галилея, найдем скорость м> нормального движения ножа

$w = \sqrt{ v^{2} - u^{2}} = 4,4 \frac{мм}{с}$. (8)


При таком способе «распилки» потребуется время

$t_{2} = \frac{a}{w} = 2,3 \cdot 10^{2} с$. (9)

Угол $\alpha$ при вершине бруса в этом случае определяется опять же из векторного треугольника скоростей

$\cos \alpha = \frac{u}{v} = 0,57 \Rightarrow \alpha = 56^{ \circ} = 0,97 рад$. (10)