Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2734
2017-04-07 
Горизонтальная платформа начинает подниматься с поверхности земли с постоянным ускорением $a$. Через время $\tau$ после начала движения с платформы вертикально вверх с начальной скоростью $v_{0}$ относительно платформы подбрасывают небольшой шарик.
1. Запишите законы движения платформы и шарика в системе отсчета, связанной с землей. Постройте примерные графики этих зависимостей.
Начало отсчета вертикальной оси и начало отсчета времени можете выбрать самостоятельно. Законом движения называется зависимость координат тела от времени.
2. Найдите путь и перемещение шарика за время свободного полета в системе отсчета, связанной с землей.
Рассмотрите возможные варианты движения шарика при различных значениях параметров задачи. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
1. Законы движения платформы $x_{1}(t)$ и шарика $x_{2}(t)$ имеют вид
$x_{1} = \frac{at^{2}}{2}$ (1)
$x_{2} = \frac{a \tau^{2}}{2} + (a \tau + v_{0})(t - \tau) - \frac{g(t - \tau)^{2}}{2}$
Здесь начало отсчета времени совмещено со стартом платформы, а начало отсчета вертикальной оси X находится на поверхности земли. Схематические графики законов движения показаны ниже на рисунке.
Следует отметить, что в данной задаче следует рассмотреть два варианта:
- до падения на платформу шарик успевает достичь верхней точки траектории свободного движения;
- платформа догоняет шарик , который продолжает двигаться вверх.
Для упрощения дальнейших расчетов совместим начало отсчета координат с точкой, в которой был брошен шарик, с этим же моментом свяжем начало отсчета времени. В такой системе отсчета законы движения имеют вид
$x_{1} = a \tau \cdot t + \frac{at^{2}}{2}$ (2)
$x_{2} = (a \tau + v_{0}) t - \frac{gt^{2}}{2}$
Определим момент времени падения шарика на платформу $t_{2}$, для чего следует решить уравнение $x_{1}(t_{2}) = x_{2}(t_{2})$. Решение этого уравнения выражается формулой
$t_{2} = \frac{2v_{0}}{a + g}$. (3)
При свободном движении шарика в верхней точке его скорость обращается в нуль, что позволяет найти этот момент времени. Так как скорость шарика изменяется по закону $v_{2} = (a \tau + v_{0}) - gt$, то скорость шарика может обратиться в нуль при
$t_{1} = \frac{a \tau + v_{0}}{g}$. (4)
Итак, шарик не успеет достичь верхней точки своей траектории свободного движения при выполнении условии $t_{1} > t_{2}$, или при следующем соотношении между исходными параметрами
$v_{0} < a \tau \frac{g+a}{g-a}$. (5)
В этом случае модуль перемещения и пройденный путь равны и могут быть найдены как координата точки падения шарика на платформу
$x_{n} = x_{1}(t_{2}) = x_{2} (t_{2} ) = \frac{2 v_{0}a}{a+g} \left ( \tau + \frac{v_{0}}{a+g} \right )$. (6)
Если же неравенство (5) не выполняется, то пройденный путь будет превышать модуль перемещения (который, по-прежнему, определяется формулой (6)). Как легко увидеть из графиков законов движения, в этом случае пройденный путь равен
$S = x_{n} + 2(x_{в} - x_{n})$, (7)
где $x_{в}$ - координата верхней точки траектории, которая в свою очередь легко определима
$x_{в} = \frac{(a \tau + v_{0})^{2}}{2g}$. (8)
Итак, окончательно получим выражения для пройденного пути
$S = \frac{(a \tau + v_{0})^{2}}{g} - \frac{2v_{0}a}{a + g} \left ( \tau + \frac{v_{0}}{a+g} \right )$. (9)
Горизонтальная платформа начинает подниматься с поверхности земли с постоянным ускорением $a$. Через время $\tau$ после начала движения с платформы вертикально вверх с начальной скоростью $v_{0}$ относительно платформы подбрасывают небольшой шарик.
1. Запишите законы движения платформы и шарика в системе отсчета, связанной с землей. Постройте примерные графики этих зависимостей.
Начало отсчета вертикальной оси и начало отсчета времени можете выбрать самостоятельно. Законом движения называется зависимость координат тела от времени.
2. Найдите путь и перемещение шарика за время свободного полета в системе отсчета, связанной с землей.
Рассмотрите возможные варианты движения шарика при различных значениях параметров задачи. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
1. Законы движения платформы $x_{1}(t)$ и шарика $x_{2}(t)$ имеют вид
$x_{1} = \frac{at^{2}}{2}$ (1)
$x_{2} = \frac{a \tau^{2}}{2} + (a \tau + v_{0})(t - \tau) - \frac{g(t - \tau)^{2}}{2}$
Здесь начало отсчета времени совмещено со стартом платформы, а начало отсчета вертикальной оси X находится на поверхности земли. Схематические графики законов движения показаны ниже на рисунке.
Следует отметить, что в данной задаче следует рассмотреть два варианта:
- до падения на платформу шарик успевает достичь верхней точки траектории свободного движения;
- платформа догоняет шарик , который продолжает двигаться вверх.
Для упрощения дальнейших расчетов совместим начало отсчета координат с точкой, в которой был брошен шарик, с этим же моментом свяжем начало отсчета времени. В такой системе отсчета законы движения имеют вид
$x_{1} = a \tau \cdot t + \frac{at^{2}}{2}$ (2)
$x_{2} = (a \tau + v_{0}) t - \frac{gt^{2}}{2}$
Определим момент времени падения шарика на платформу $t_{2}$, для чего следует решить уравнение $x_{1}(t_{2}) = x_{2}(t_{2})$. Решение этого уравнения выражается формулой
$t_{2} = \frac{2v_{0}}{a + g}$. (3)
При свободном движении шарика в верхней точке его скорость обращается в нуль, что позволяет найти этот момент времени. Так как скорость шарика изменяется по закону $v_{2} = (a \tau + v_{0}) - gt$, то скорость шарика может обратиться в нуль при
$t_{1} = \frac{a \tau + v_{0}}{g}$. (4)
Итак, шарик не успеет достичь верхней точки своей траектории свободного движения при выполнении условии $t_{1} > t_{2}$, или при следующем соотношении между исходными параметрами
$v_{0} < a \tau \frac{g+a}{g-a}$. (5)
В этом случае модуль перемещения и пройденный путь равны и могут быть найдены как координата точки падения шарика на платформу
$x_{n} = x_{1}(t_{2}) = x_{2} (t_{2} ) = \frac{2 v_{0}a}{a+g} \left ( \tau + \frac{v_{0}}{a+g} \right )$. (6)
Если же неравенство (5) не выполняется, то пройденный путь будет превышать модуль перемещения (который, по-прежнему, определяется формулой (6)). Как легко увидеть из графиков законов движения, в этом случае пройденный путь равен
$S = x_{n} + 2(x_{в} - x_{n})$, (7)
где $x_{в}$ - координата верхней точки траектории, которая в свою очередь легко определима
$x_{в} = \frac{(a \tau + v_{0})^{2}}{2g}$. (8)
Итак, окончательно получим выражения для пройденного пути
$S = \frac{(a \tau + v_{0})^{2}}{g} - \frac{2v_{0}a}{a + g} \left ( \tau + \frac{v_{0}}{a+g} \right )$. (9)
