Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2733
2017-04-07 
В длинной вертикальной цилиндрической трубе, заполненной водой, находится цилиндрическая пробирка, диаметр которой немного меньше внутреннего диаметра трубки. Толщина стенок пробирки пренебрежимо мала. Если пробирка пуста, то она равномерно поднимается со скоростью $v_{0}$, если пробирку полностью заполнить водой, то она будет равномерно опускаться со скоростью $v_{1}$.
1. Качественно объясните характер движения пробирки. Как изменятся указанные скорости движения, если взять пробирку такой же массы и такого же внешнего радиуса, но в два раза длиннее?
2. Найдите зависимость скорости пробирки от степени ее наполнения $\eta$ водой (под степенью наполнения следует понимать отношение высоты заполненной части пробирки $h$ к ее длине $I: \eta = \frac{h}{l}$). Постройте график этой зависимости.
3. Пробирку заполняют жидкостью, плотность которой в $n$ раз больше плотности воды. Найдите зависимость скорости пробирки от степени ее наполнения этой жидкостью. Постройте график этой зависимости.
Решение:
1. Во время движения на пробирку действуют сила тяжести, выталкивающая сила Архимеда и сила вязкого трения, пропорциональная скорости движения пробирки. Так как сила сопротивления пропорциональна скорости, то по прошествии малого промежутка времени пробирка будет двигаться с постоянной скоростью, которую можно найти из условия равновесия сил (положительное направление - вверх):
$\rho Vg - m_{0}g - \rho_{1} \eta Vg = \beta v$, (1)
где $\rho, \rho_{1}$ - плотности воды и жидкости внутри пробирки, $V$ - объем пробирки, $m_{0}$ - масса пустой пробирки, $\beta$ - коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью пробирки. Основная причина, приводящая к возникновению силы сопротивления - перетекание воды в узком слое между стенками трубки и пробирки, поэтому коэффициент $\beta$ приблизительно пропорционален длине пробирки. Следовательно, если взять пробирку вдвое большей длины (при прочих равных условиях), то указанные скорости приблизительно уменьшатся в два раза.
2. Из уравнения (1) следует, что скорость установившегося движения пробирки линейно зависит от степени ее наполнения\
$v = A \eta + B$, (2)
где $A, B$ - постоянные коэффициенты, которые можно определить из двух известных скоростей. Окончательный вид зависимости скорости от степени наполнения имеет вид
$v = - (v_{0} + v_{1}) \eta + v_{0}$. (3)
3. Из уравнения (1) следует, что коэффициент при \$eta$, в линейной зависимости вида (2), пропорционален плотности налитой жидкости. Поэтому для другой жидкости зависимость скорости от степени наполнения будет иметь вид
$v = - \eta (v_{0} + v_{1}) \eta + v_{0}$. (4)
Графики этих зависимостей показаны на рисунке, где обозначена скорость движения пробирки, полностью заполненной другой жидкостью,
$v_{1}^{ \prime} = nv_{1} + (n-1)v_{0}$.
В длинной вертикальной цилиндрической трубе, заполненной водой, находится цилиндрическая пробирка, диаметр которой немного меньше внутреннего диаметра трубки. Толщина стенок пробирки пренебрежимо мала. Если пробирка пуста, то она равномерно поднимается со скоростью $v_{0}$, если пробирку полностью заполнить водой, то она будет равномерно опускаться со скоростью $v_{1}$.
1. Качественно объясните характер движения пробирки. Как изменятся указанные скорости движения, если взять пробирку такой же массы и такого же внешнего радиуса, но в два раза длиннее?
2. Найдите зависимость скорости пробирки от степени ее наполнения $\eta$ водой (под степенью наполнения следует понимать отношение высоты заполненной части пробирки $h$ к ее длине $I: \eta = \frac{h}{l}$). Постройте график этой зависимости.
3. Пробирку заполняют жидкостью, плотность которой в $n$ раз больше плотности воды. Найдите зависимость скорости пробирки от степени ее наполнения этой жидкостью. Постройте график этой зависимости.
Решение:
1. Во время движения на пробирку действуют сила тяжести, выталкивающая сила Архимеда и сила вязкого трения, пропорциональная скорости движения пробирки. Так как сила сопротивления пропорциональна скорости, то по прошествии малого промежутка времени пробирка будет двигаться с постоянной скоростью, которую можно найти из условия равновесия сил (положительное направление - вверх):
$\rho Vg - m_{0}g - \rho_{1} \eta Vg = \beta v$, (1)
где $\rho, \rho_{1}$ - плотности воды и жидкости внутри пробирки, $V$ - объем пробирки, $m_{0}$ - масса пустой пробирки, $\beta$ - коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью пробирки. Основная причина, приводящая к возникновению силы сопротивления - перетекание воды в узком слое между стенками трубки и пробирки, поэтому коэффициент $\beta$ приблизительно пропорционален длине пробирки. Следовательно, если взять пробирку вдвое большей длины (при прочих равных условиях), то указанные скорости приблизительно уменьшатся в два раза.
2. Из уравнения (1) следует, что скорость установившегося движения пробирки линейно зависит от степени ее наполнения\
$v = A \eta + B$, (2)
где $A, B$ - постоянные коэффициенты, которые можно определить из двух известных скоростей. Окончательный вид зависимости скорости от степени наполнения имеет вид
$v = - (v_{0} + v_{1}) \eta + v_{0}$. (3)
3. Из уравнения (1) следует, что коэффициент при \$eta$, в линейной зависимости вида (2), пропорционален плотности налитой жидкости. Поэтому для другой жидкости зависимость скорости от степени наполнения будет иметь вид
$v = - \eta (v_{0} + v_{1}) \eta + v_{0}$. (4)
Графики этих зависимостей показаны на рисунке, где обозначена скорость движения пробирки, полностью заполненной другой жидкостью,
$v_{1}^{ \prime} = nv_{1} + (n-1)v_{0}$.
