Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2730
2017-04-07 
Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых пластин, расположенных параллельно друг другу. Точка А находится внутри конденсатора, расстояния от данной точки до пластин одинаковы (рис.1). Поверхностная плотность заряда на нижней пластине поддерживается постоянной и равной $\sigma_{0}$, поверхностную плотность заряда верхней пластины $\sigma_{1}$ изменяют, проводя при этом измерения потенциала $\phi$ и модуля напряженности электрического поля $E$ в точке А. По полученным экспериментальным данным были построены графики исследованных зависимостей. Однако по непонятным причинам на графике зависимости потенциала осталась всего одна точка (рис. 2), а на графике зависимости модуля напряженности две точки (рис. 3).
1. Получите аналитические зависимости потенциала и модуля напряженности электрического поля в точке А от отношения $\gamma = \frac{ \sigma_{1}}{ \sigma_{0}}$ поверхностных плотностей зарядов на пластинах. (Выразите эти зависимости через «сохранившиеся» данные $\phi_{0}, E_{1}, E_{2})$
2. Постройте графики этих зависимостей.
Решение:
Потенциал, создаваемый нижней пластиной в точке А не меняется, тогда как потенциал, создаваемый верхней пластиной при неизменной «геометрии» гтропорционален $\sigma_{1}$
$\phi_{1} = \alpha \sigma_{1} = \alpha \gamma \sigma_{0}$. (1)
Поскольку при $\gamma = 1$ заряды пластин одинаковы, то потенциалы, создаваемые ими в точке А, в этом случае также равны. Отсюда следует, что
$\alpha = \frac{ \phi_{0}}{ 2 \sigma_{0}}$. (2)
Поскольку потенциалы складываются алгебраически, то искомая зависимость линейна и имеет вид
$\phi ( \gamma) = \frac{ \phi}{2} (1 + \gamma)$. (3)
С напряженностями ситуация несколько «напряженнее». Поскольку при $\gamma = 1$ результирующее поле не исчезло, то это говорит о том, что точка А, находится в зоне т.н. «краевых эффектов», где векторы напряженностей каждой из пластин имеют не только нормальные ($ \vec{E}_{ \perp}$), но и тангенциальные ($\vec{E}_{ \parallel}$) компоненты. Как и в первом пункте следует учесть, что напряженности полей пропорциональны плотностям зарядов, тогда выражения для соответствующих компонент напряженностей примут следующий вид
$E_{ \parallel}( \gamma ) = \frac{E_{2}}{2} (1 + \gamma)$ (4)
$E_{ \perp}( \gamma ) = \frac{E_{1}}{2} (1 - \gamma)$
Соответственно искомая зависимость $E( \gamma)$ может быть найдена с помощью теоремы Пифагора
$E( \gamma) = \sqrt{ ( E_{ \parallel} ( \gamma))^{2} + ( E_{ \perp}( \gamma))^{2}} = \frac{ \sqrt{ E_{1}^{2} (1- \gamma)^{2} + E_{2}^{2}(1 + \gamma)^{2}}}{2}$. (5)
Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых пластин, расположенных параллельно друг другу. Точка А находится внутри конденсатора, расстояния от данной точки до пластин одинаковы (рис.1). Поверхностная плотность заряда на нижней пластине поддерживается постоянной и равной $\sigma_{0}$, поверхностную плотность заряда верхней пластины $\sigma_{1}$ изменяют, проводя при этом измерения потенциала $\phi$ и модуля напряженности электрического поля $E$ в точке А. По полученным экспериментальным данным были построены графики исследованных зависимостей. Однако по непонятным причинам на графике зависимости потенциала осталась всего одна точка (рис. 2), а на графике зависимости модуля напряженности две точки (рис. 3).
1. Получите аналитические зависимости потенциала и модуля напряженности электрического поля в точке А от отношения $\gamma = \frac{ \sigma_{1}}{ \sigma_{0}}$ поверхностных плотностей зарядов на пластинах. (Выразите эти зависимости через «сохранившиеся» данные $\phi_{0}, E_{1}, E_{2})$
2. Постройте графики этих зависимостей.
Решение:
Потенциал, создаваемый нижней пластиной в точке А не меняется, тогда как потенциал, создаваемый верхней пластиной при неизменной «геометрии» гтропорционален $\sigma_{1}$
$\phi_{1} = \alpha \sigma_{1} = \alpha \gamma \sigma_{0}$. (1)
Поскольку при $\gamma = 1$ заряды пластин одинаковы, то потенциалы, создаваемые ими в точке А, в этом случае также равны. Отсюда следует, что
$\alpha = \frac{ \phi_{0}}{ 2 \sigma_{0}}$. (2)
Поскольку потенциалы складываются алгебраически, то искомая зависимость линейна и имеет вид
$\phi ( \gamma) = \frac{ \phi}{2} (1 + \gamma)$. (3)
С напряженностями ситуация несколько «напряженнее». Поскольку при $\gamma = 1$ результирующее поле не исчезло, то это говорит о том, что точка А, находится в зоне т.н. «краевых эффектов», где векторы напряженностей каждой из пластин имеют не только нормальные ($ \vec{E}_{ \perp}$), но и тангенциальные ($\vec{E}_{ \parallel}$) компоненты. Как и в первом пункте следует учесть, что напряженности полей пропорциональны плотностям зарядов, тогда выражения для соответствующих компонент напряженностей примут следующий вид
$E_{ \parallel}( \gamma ) = \frac{E_{2}}{2} (1 + \gamma)$ (4)
$E_{ \perp}( \gamma ) = \frac{E_{1}}{2} (1 - \gamma)$
Соответственно искомая зависимость $E( \gamma)$ может быть найдена с помощью теоремы Пифагора
$E( \gamma) = \sqrt{ ( E_{ \parallel} ( \gamma))^{2} + ( E_{ \perp}( \gamma))^{2}} = \frac{ \sqrt{ E_{1}^{2} (1- \gamma)^{2} + E_{2}^{2}(1 + \gamma)^{2}}}{2}$. (5)
