Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2729
2017-04-07 
На конце длинной легкой спицы укреплен небольшой массивный шарик (масса шарика значительно больше массы спицы, радиус шарика значительно меньше длины спицы). Спицу с шариком устанавливают на горизонтальную поверхность под небольшим углом $\alpha$ к вертикали и отпускают. В процессе движения нижний конец спицы остается неподвижным, шарик ударяется о поверхность через время $t_{1}$. В середине спицы закрепляют еще один такой же шарик, спицу располагают под тем же углом к вертикали и отпускают. Чему будет равно время падения в этом случае?
Решение:
Рассмотрим спицу с одним шариком в момент, когда она составляет некоторый угол $\alpha$ с вертикалью. Согласно закону сохранения механической энергии имеем
$\frac{mV^{2}}{2} + mgl \cos \alpha = mgl \cos \alpha_{0}$, (1)
где $l$ — длина спицы, $m$ — масса шарика, $V$ — его скорость в данный момент, $\alpha_{0}$ — угол начального отклонения спицы. Из (1), учитывая, что $V = \omega l$ найдем угловую скорость $\omega_{1}$ спицы в гжсматриваемый момент времени
$\omega_{1} = \sqrt{2 \frac{g}{l}( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)}$. (2)
Проводя аналогичные рассуждения для случая падения спицы с двумя шариками, получим
$\frac{ \left ( ml^{2} + m \frac{l^{2}}{4} \right ) \omega_{0}^{2}}{2} = mg \left ( l + \frac{l}{2} \right ) ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)$. (3)
Выражая из (3) значение угловой скорости $\omega_{2}$, получим
$\omega_{2} = \sqrt{2 \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{g}{l} ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)}$. (4)
Как видим из (2) и (4) отношение угловых скоростей $\omega_{2}$ к $\omega_{1}$ остается постоянным при падении спицы
$\frac{ \omega_{2}}{ \omega_{1}} = \sqrt{ \frac{6}{5}}$. (5)
Это говорит о том, что так же будут соотаоситься и средние угловые скорости падения спиц Следовательно, времена падения будут связаны обратным соотношением
$\frac{t_{2}}{t_{1}} = \sqrt{ \frac{5}{6}} \Rightarrow t_{2} = t_{1} \sqrt{ \frac{5}{6}}$. (6)
На конце длинной легкой спицы укреплен небольшой массивный шарик (масса шарика значительно больше массы спицы, радиус шарика значительно меньше длины спицы). Спицу с шариком устанавливают на горизонтальную поверхность под небольшим углом $\alpha$ к вертикали и отпускают. В процессе движения нижний конец спицы остается неподвижным, шарик ударяется о поверхность через время $t_{1}$. В середине спицы закрепляют еще один такой же шарик, спицу располагают под тем же углом к вертикали и отпускают. Чему будет равно время падения в этом случае?
Решение:
Рассмотрим спицу с одним шариком в момент, когда она составляет некоторый угол $\alpha$ с вертикалью. Согласно закону сохранения механической энергии имеем
$\frac{mV^{2}}{2} + mgl \cos \alpha = mgl \cos \alpha_{0}$, (1)
где $l$ — длина спицы, $m$ — масса шарика, $V$ — его скорость в данный момент, $\alpha_{0}$ — угол начального отклонения спицы. Из (1), учитывая, что $V = \omega l$ найдем угловую скорость $\omega_{1}$ спицы в гжсматриваемый момент времени
$\omega_{1} = \sqrt{2 \frac{g}{l}( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)}$. (2)
Проводя аналогичные рассуждения для случая падения спицы с двумя шариками, получим
$\frac{ \left ( ml^{2} + m \frac{l^{2}}{4} \right ) \omega_{0}^{2}}{2} = mg \left ( l + \frac{l}{2} \right ) ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)$. (3)
Выражая из (3) значение угловой скорости $\omega_{2}$, получим
$\omega_{2} = \sqrt{2 \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{g}{l} ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)}$. (4)
Как видим из (2) и (4) отношение угловых скоростей $\omega_{2}$ к $\omega_{1}$ остается постоянным при падении спицы
$\frac{ \omega_{2}}{ \omega_{1}} = \sqrt{ \frac{6}{5}}$. (5)
Это говорит о том, что так же будут соотаоситься и средние угловые скорости падения спиц Следовательно, времена падения будут связаны обратным соотношением
$\frac{t_{2}}{t_{1}} = \sqrt{ \frac{5}{6}} \Rightarrow t_{2} = t_{1} \sqrt{ \frac{5}{6}}$. (6)
