Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2723
2017-04-05 
Между пластинами плоского конденсатора, расположенными на расстоянии $h$ друг от друга, находится слабопроводящая вязкая жидкость. Удельное электрическое сопротивление жидкости равно $\rho$, ее диэлектрическая проницаемость $\epsilon$.
К пластинам конденсатора приложено постоянное электрическое напряжение $U$. Внутрь жидкости помещают небольшой легкий проводящий шарик, электрический заряд которого равен $q_{0}$. При движении шарика в жидкости на него действует сила вязкого трения $F = \beta v$, где $v$ -скорость шарика, $\beta$ - известный коэффициент. На какое максимальное расстояние сместится шарик в процессе движения. Известно, что пластин конденсатора шарик не достигает, действием силы тяжести пренебречь.
Решение:
Уравнение второго закона Ньютона для движущегося шарика имеет вид
$ma = qE - \beta v$, (1)
где $qE$ - сила, действующая на шарик со стороны электрического поля, напряженность которого определяется формулой
$E = \frac{U}{h}$. (2)
Учитывая, что шарик легкий, а жидкость вязкая, можно считать, что в любой момент времени сумма сил, действующих на шарик равна нулю, то есть, выполняется соотношение
$qE = \beta v$. (3)
Получим уравнение, описывающее, изменение заряда шарика с течением времени. Очевидно, что заряд уменьшается вследствие наличия слабого тока, стекающего с шарика $\frac{ \Delta q}{ \Delta t} = - I$. Суммарная сила тока, стекающего с шарика, равна потоку вектора плотности тока $\vec{j}$
$I = \Phi{j} = \sum \vec{j} \cdot \vec{n} \Delta S$, (4)
через любую замкнутую поверхность, окружающую шарик. По закону Ома плотность тока связана с напряженностью поля соотношением
$\vec{j} = \frac{1}{ \rho } \vec{E}$. (5)
Следовательно, поток вектора $\vec{j}$, выражается через поток вектора напряженности соотношением
$\Phi_{j} = \frac{1}{ \rho} \Phi_{E} = \frac{q}{ \rho \epsilon \epsilon_{0}}$, (6)
в котором окончательное выражение получено с помощью теоремы Гаусса. Заметим, что в выражение (2) диэлектрическая проницаемость жидкости не входит, а при выводе формулы (6) следует учесть поляризационные заряды, возникающие у поверхности шарика.
Таким образом, изменение заряда шарика описывается уравнением
$\frac{ \Delta q}{ \Delta t} = - \frac{q}{ \rho \epsilon \epsilon_{0}}$. (7)
Выразим из этого уравнения заряд шарика $q = - \rho \epsilon_{0} \epsilon_{0} \frac{ \Delta q}{ \Delta t}$ и подставим в уравнение (3) (в котором запишем $v = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$):
$\beta \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = - \rho \epsilon \epsilon_{0} \frac{ \Delta q}{ \Delta t} \frac{U}{h}$. (8)
Максимальному смещению шарика соответствует его полная разрядка (в этом случае $\Delta q = -q_{0}$). Таким образом, из уравнения (8) следует, что максимальное смещение шарика равно $x_{max} = \frac{ \rho \epsilon \epsilon_{0} q_{0} U}{ \beta h}$.
Между пластинами плоского конденсатора, расположенными на расстоянии $h$ друг от друга, находится слабопроводящая вязкая жидкость. Удельное электрическое сопротивление жидкости равно $\rho$, ее диэлектрическая проницаемость $\epsilon$.
К пластинам конденсатора приложено постоянное электрическое напряжение $U$. Внутрь жидкости помещают небольшой легкий проводящий шарик, электрический заряд которого равен $q_{0}$. При движении шарика в жидкости на него действует сила вязкого трения $F = \beta v$, где $v$ -скорость шарика, $\beta$ - известный коэффициент. На какое максимальное расстояние сместится шарик в процессе движения. Известно, что пластин конденсатора шарик не достигает, действием силы тяжести пренебречь.
Решение:
Уравнение второго закона Ньютона для движущегося шарика имеет вид
$ma = qE - \beta v$, (1)
где $qE$ - сила, действующая на шарик со стороны электрического поля, напряженность которого определяется формулой
$E = \frac{U}{h}$. (2)
Учитывая, что шарик легкий, а жидкость вязкая, можно считать, что в любой момент времени сумма сил, действующих на шарик равна нулю, то есть, выполняется соотношение
$qE = \beta v$. (3)
Получим уравнение, описывающее, изменение заряда шарика с течением времени. Очевидно, что заряд уменьшается вследствие наличия слабого тока, стекающего с шарика $\frac{ \Delta q}{ \Delta t} = - I$. Суммарная сила тока, стекающего с шарика, равна потоку вектора плотности тока $\vec{j}$
$I = \Phi{j} = \sum \vec{j} \cdot \vec{n} \Delta S$, (4)
через любую замкнутую поверхность, окружающую шарик. По закону Ома плотность тока связана с напряженностью поля соотношением
$\vec{j} = \frac{1}{ \rho } \vec{E}$. (5)
Следовательно, поток вектора $\vec{j}$, выражается через поток вектора напряженности соотношением
$\Phi_{j} = \frac{1}{ \rho} \Phi_{E} = \frac{q}{ \rho \epsilon \epsilon_{0}}$, (6)
в котором окончательное выражение получено с помощью теоремы Гаусса. Заметим, что в выражение (2) диэлектрическая проницаемость жидкости не входит, а при выводе формулы (6) следует учесть поляризационные заряды, возникающие у поверхности шарика.
Таким образом, изменение заряда шарика описывается уравнением
$\frac{ \Delta q}{ \Delta t} = - \frac{q}{ \rho \epsilon \epsilon_{0}}$. (7)
Выразим из этого уравнения заряд шарика $q = - \rho \epsilon_{0} \epsilon_{0} \frac{ \Delta q}{ \Delta t}$ и подставим в уравнение (3) (в котором запишем $v = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$):
$\beta \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = - \rho \epsilon \epsilon_{0} \frac{ \Delta q}{ \Delta t} \frac{U}{h}$. (8)
Максимальному смещению шарика соответствует его полная разрядка (в этом случае $\Delta q = -q_{0}$). Таким образом, из уравнения (8) следует, что максимальное смещение шарика равно $x_{max} = \frac{ \rho \epsilon \epsilon_{0} q_{0} U}{ \beta h}$.
