Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2721
2017-04-05 
В глубинах Вселенной был обнаружен однородный астероид сферической формы радиуса $R$, состоящий из редких химических элементов. Измерения с помощью высокоточного гравиметра (прибора для измерения величины ускорения свободного падения $g$) показали, что ускорение свободного падения во всех точках на его поверхности было одинаково по модулю $| \vec{g} | = g_{0}$. В результате добычи полезных ископаемых внутри астероида в некотором месте образовалась сферическая полость, не выходящая на его поверхность. Повторные измерения с помощью высокоточного гравиметра показали, что вследствие разработки астероида значения $g$ изменились: минимальное ускорение свободного падения на его поверхности $g_{min} = 0,938 g_{0}$ достигается в некоторой точке А (уменьшение $g$ составило $\eta_{1} = 6,2 %$), а максимальное значение $g_{max} = 0,993 g_{0}$ - в диаметрально противоположной точке В на его поверхности (уменьшение $g$ составило $\eta_{2} = 0,70 %$.) Определите по этим данным положение и глубину залегания а центра полости, а также ее радиус $r$.
Решение:
Наименьшее значение ускорения свободного падения $g_{min} = 0,938 g_{0}$ на поверхности астероида достигается в точке, где верхний край полости подходит к поверхности астероида ближе всего. Следовательно, центр полости (точка С на рисунке) расположен на отрезке АО на некоторой неизвестной глубине $AC = a$, где точка О — центр однородного астероида.
Масса изъятой из астероида в процессе разработки породы $m = \rho \frac{4}{3} \pi r^{3}$, где $\rho$ - плотность вещества астероида, $r$ — искомый радиус полости. Для решения задачи мысленно «добавим» выработанную породу обратно. Тогда на всей поверхности астероида должно «восстановится» прежнее значение ускорения свободного падения — $g_{0}$. Но с другой стороны для точки А можем записать
$g_{0} = g_{min} + \Delta g_{A}$,
где $\Delta g_{A}$ — ускорение, создаваемое добавленной массой. С учетом закона гравитации Ньютона получаем
$\Delta g_{A} = G \frac{4/3 \pi r^{3} \rho}{a^{2}}$.
Аналогичное равенство можно записать и для точки В астероида
$g_{0} = g_{max} + \Delta g_{B}$,
где $\Delta g_{B} = G \frac{4/3 \pi r^{3}}{(2R - a)^{2}}$. Таким образом, для нахождения глубины залегания центра полости $a$ и ее радиуса $r$ имеем систему уравнений
$g_{min} = g_{A} = \frac{4}{3} G \pi \rho \left ( R - \frac{r^{3}}{a^{2}} \right )$ (1)
$g_{max} = g_{B} = \frac{4}{3} G \pi \rho \left ( R - \frac{r^{3}}{(2R - a)^{2}} \right )$ (2)
Выражая из первого уравнения
$r^{3} = \frac{3}{4 G \pi \rho} a^{2} (g_{0} - g_{min})$
и подставляя полученное значение во второе уравнение, найдем
$a = 2R \frac{ \sqrt{g_{0} - g_{max}}}{ \sqrt{g_{0} - g_{max}} + \sqrt{g_{0} - g_{min}}} = 2R \frac{ \sqrt{ \eta_{2}}}{ \sqrt{ \eta_{2}} + \sqrt{ \eta_{1}}}$. (3)
Соответственно, для радиуса полости имеем
$r = R \sqrt[3] { \frac{4(g_{0} - g_{max})(g_{0} - g_{min})}{g_{0}( \sqrt{g_{0} - g_{max}} + \sqrt{ g_{0} - g_{min}})^{2}}} = R \sqrt[3]{ \frac{4 \eta_{2} \eta_{1}}{ ( \sqrt{ \eta_{2}} + \sqrt{ \eta_{1}})^{2} }}$. (4)
Подставляя в (3) и (4) числовые данные, находим
$a = 0,503 R \approx \frac{R}{2}; r = 0,250 R \approx \frac{R}{4}$.
В глубинах Вселенной был обнаружен однородный астероид сферической формы радиуса $R$, состоящий из редких химических элементов. Измерения с помощью высокоточного гравиметра (прибора для измерения величины ускорения свободного падения $g$) показали, что ускорение свободного падения во всех точках на его поверхности было одинаково по модулю $| \vec{g} | = g_{0}$. В результате добычи полезных ископаемых внутри астероида в некотором месте образовалась сферическая полость, не выходящая на его поверхность. Повторные измерения с помощью высокоточного гравиметра показали, что вследствие разработки астероида значения $g$ изменились: минимальное ускорение свободного падения на его поверхности $g_{min} = 0,938 g_{0}$ достигается в некоторой точке А (уменьшение $g$ составило $\eta_{1} = 6,2 %$), а максимальное значение $g_{max} = 0,993 g_{0}$ - в диаметрально противоположной точке В на его поверхности (уменьшение $g$ составило $\eta_{2} = 0,70 %$.) Определите по этим данным положение и глубину залегания а центра полости, а также ее радиус $r$.
Решение:
Наименьшее значение ускорения свободного падения $g_{min} = 0,938 g_{0}$ на поверхности астероида достигается в точке, где верхний край полости подходит к поверхности астероида ближе всего. Следовательно, центр полости (точка С на рисунке) расположен на отрезке АО на некоторой неизвестной глубине $AC = a$, где точка О — центр однородного астероида.
Масса изъятой из астероида в процессе разработки породы $m = \rho \frac{4}{3} \pi r^{3}$, где $\rho$ - плотность вещества астероида, $r$ — искомый радиус полости. Для решения задачи мысленно «добавим» выработанную породу обратно. Тогда на всей поверхности астероида должно «восстановится» прежнее значение ускорения свободного падения — $g_{0}$. Но с другой стороны для точки А можем записать
$g_{0} = g_{min} + \Delta g_{A}$,
где $\Delta g_{A}$ — ускорение, создаваемое добавленной массой. С учетом закона гравитации Ньютона получаем
$\Delta g_{A} = G \frac{4/3 \pi r^{3} \rho}{a^{2}}$.
Аналогичное равенство можно записать и для точки В астероида
$g_{0} = g_{max} + \Delta g_{B}$,
где $\Delta g_{B} = G \frac{4/3 \pi r^{3}}{(2R - a)^{2}}$. Таким образом, для нахождения глубины залегания центра полости $a$ и ее радиуса $r$ имеем систему уравнений
$g_{min} = g_{A} = \frac{4}{3} G \pi \rho \left ( R - \frac{r^{3}}{a^{2}} \right )$ (1)
$g_{max} = g_{B} = \frac{4}{3} G \pi \rho \left ( R - \frac{r^{3}}{(2R - a)^{2}} \right )$ (2)
Выражая из первого уравнения
$r^{3} = \frac{3}{4 G \pi \rho} a^{2} (g_{0} - g_{min})$
и подставляя полученное значение во второе уравнение, найдем
$a = 2R \frac{ \sqrt{g_{0} - g_{max}}}{ \sqrt{g_{0} - g_{max}} + \sqrt{g_{0} - g_{min}}} = 2R \frac{ \sqrt{ \eta_{2}}}{ \sqrt{ \eta_{2}} + \sqrt{ \eta_{1}}}$. (3)
Соответственно, для радиуса полости имеем
$r = R \sqrt[3] { \frac{4(g_{0} - g_{max})(g_{0} - g_{min})}{g_{0}( \sqrt{g_{0} - g_{max}} + \sqrt{ g_{0} - g_{min}})^{2}}} = R \sqrt[3]{ \frac{4 \eta_{2} \eta_{1}}{ ( \sqrt{ \eta_{2}} + \sqrt{ \eta_{1}})^{2} }}$. (4)
Подставляя в (3) и (4) числовые данные, находим
$a = 0,503 R \approx \frac{R}{2}; r = 0,250 R \approx \frac{R}{4}$.
