Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2719
2017-04-05 
В последнее время появились медицинские грелки, разогрев которых происходит за счет кристаллизации жидкости, находящейся внутри грелки. Кристаллизация инициируется с помощью катализатора (в этом случае кристаллизация проходит в широком диапазоне температур). Внутренний объем грелки представляет собой параллелепипед размерами $a \times h \times l$. Кристаллизация начинается с одного из торцов, граница отвердевшей области движется с малой постоянной скоростью $v$. Найдите зависимость температуры грелки от времени (с начала кристаллизации). Чему равна максимальная температура грелки?
Удельная теплота кристаллизации равна $\lambda$, удельная теплоемкость рабочего вещества в жидком состоянии равна $C_{0}$, а в твердом состоянии на $\eta = 10%$ меньше, начальная температура равна $t_{0}$, изменением плотности вещества, теплоемкостью сосуда и потерями теплоты в окружающую среду пренебречь. Считайте, что в любой момент времени температура во всех точках грелки одинакова (вследствие высокой теплопроводности вещества).
Рекомендуем в ходе решения задачи (при необходимости) использовать приближенную формулу $\frac{1}{1+z} \approx 1 - z$, погрешность которой при $z \leq 0,1$ не превышает 1%
Решение:
Пусть в некоторый момент времени $\tau$ длина отвердевшей части равна $x = v \tau$. За последующий малый промежуток времени $\Delta t$ в ходе кристаллизации выделится количество теплоты
$\Delta q = \lambda \rho ah \Delta x = \lambda \rho ahv \Delta t$, (1)
где $\rho$ - плотность вещества в грелке. Эта теплота пойдет на нагревание как жидкой, так и отвердевшей части содержимого грелки на $\Delta t$ градусов. Поэтому это же количество теплоты можно выразить с помощью известных формул
$\Delta q = (C_{0} \rho ah(l - x) + C_{0} (1 - \eta) \rho ahx) \Delta t$. (2)
Обратите внимание, что суммарная теплоемкость грелки зависит от соотношения жидкой и отвердевшей части вещества, следовательно, и от времени. Из уравнения теплового баланса
$(C_{0} \rho ah (l - x) + C_{0} (1 - \eta ) \rho ahx) \Delta t = \rho ahv \Delta \tau$ (3)
следует, что скорость изменения температуры сложным образом зависит от времени (очевидно, что $x = v \tau$):
$\frac{ \Delta t}{ \Delta \tau} = \frac{ \lambda v}{C_{0}(l - \eta v \tau)}$. (4)
Для упрощения последнего выражения воспользуемся приближенной формулой, приведенной в условии задачи,
$\frac{ \Delta t}{ \Delta \tau} = \frac{ \lambda v}{ C_{0} (l - \eta v \tau)} = \frac{ \lambda v}{ C_{0}l \left ( 1 - \frac{ \eta v \tau}{l} \right )} \approx \frac{ \lambda v}{ C_{0} l} \left ( 1 + \frac{ \eta v \tau}{l} \right ) = \frac{ \lambda v}{C_{0} l} + \frac{ \lambda v^{2} \eta}{C_{0}l^{2}} \tau$. (5)
Таким образом, скорость изменения температуры линейно зависит от времени. Эта зависимость полностью аналогична зависимости скорости движения при равноускоренном движении. Используя эту математическую аналогию, можем записать закон изменения температуры со временем
$t = t_{0} + \frac{ \lambda v}{C_{0}l} \tau + \frac{ \lambda v^{2} \eta}{ C_{0}l^{2}} \frac{ \tau^{2}}{2}$. (6)
Еще раз отметим, что нелинейная (квадратичная) зависимость температуры от времени связана с изменением теплоемкости системы.
Максимальная температура может быть определена из последнего выражения, полагая в нем $\tau = \frac{l}{v}$,
$t_{max} = t_{0} + \frac{ \lambda}{C_{0}} \left ( 1 + \frac{ \eta}{2} \right )$. (7)
В последнее время появились медицинские грелки, разогрев которых происходит за счет кристаллизации жидкости, находящейся внутри грелки. Кристаллизация инициируется с помощью катализатора (в этом случае кристаллизация проходит в широком диапазоне температур). Внутренний объем грелки представляет собой параллелепипед размерами $a \times h \times l$. Кристаллизация начинается с одного из торцов, граница отвердевшей области движется с малой постоянной скоростью $v$. Найдите зависимость температуры грелки от времени (с начала кристаллизации). Чему равна максимальная температура грелки?
Удельная теплота кристаллизации равна $\lambda$, удельная теплоемкость рабочего вещества в жидком состоянии равна $C_{0}$, а в твердом состоянии на $\eta = 10%$ меньше, начальная температура равна $t_{0}$, изменением плотности вещества, теплоемкостью сосуда и потерями теплоты в окружающую среду пренебречь. Считайте, что в любой момент времени температура во всех точках грелки одинакова (вследствие высокой теплопроводности вещества).
Рекомендуем в ходе решения задачи (при необходимости) использовать приближенную формулу $\frac{1}{1+z} \approx 1 - z$, погрешность которой при $z \leq 0,1$ не превышает 1%
Решение:
Пусть в некоторый момент времени $\tau$ длина отвердевшей части равна $x = v \tau$. За последующий малый промежуток времени $\Delta t$ в ходе кристаллизации выделится количество теплоты
$\Delta q = \lambda \rho ah \Delta x = \lambda \rho ahv \Delta t$, (1)
где $\rho$ - плотность вещества в грелке. Эта теплота пойдет на нагревание как жидкой, так и отвердевшей части содержимого грелки на $\Delta t$ градусов. Поэтому это же количество теплоты можно выразить с помощью известных формул
$\Delta q = (C_{0} \rho ah(l - x) + C_{0} (1 - \eta) \rho ahx) \Delta t$. (2)
Обратите внимание, что суммарная теплоемкость грелки зависит от соотношения жидкой и отвердевшей части вещества, следовательно, и от времени. Из уравнения теплового баланса
$(C_{0} \rho ah (l - x) + C_{0} (1 - \eta ) \rho ahx) \Delta t = \rho ahv \Delta \tau$ (3)
следует, что скорость изменения температуры сложным образом зависит от времени (очевидно, что $x = v \tau$):
$\frac{ \Delta t}{ \Delta \tau} = \frac{ \lambda v}{C_{0}(l - \eta v \tau)}$. (4)
Для упрощения последнего выражения воспользуемся приближенной формулой, приведенной в условии задачи,
$\frac{ \Delta t}{ \Delta \tau} = \frac{ \lambda v}{ C_{0} (l - \eta v \tau)} = \frac{ \lambda v}{ C_{0}l \left ( 1 - \frac{ \eta v \tau}{l} \right )} \approx \frac{ \lambda v}{ C_{0} l} \left ( 1 + \frac{ \eta v \tau}{l} \right ) = \frac{ \lambda v}{C_{0} l} + \frac{ \lambda v^{2} \eta}{C_{0}l^{2}} \tau$. (5)
Таким образом, скорость изменения температуры линейно зависит от времени. Эта зависимость полностью аналогична зависимости скорости движения при равноускоренном движении. Используя эту математическую аналогию, можем записать закон изменения температуры со временем
$t = t_{0} + \frac{ \lambda v}{C_{0}l} \tau + \frac{ \lambda v^{2} \eta}{ C_{0}l^{2}} \frac{ \tau^{2}}{2}$. (6)
Еще раз отметим, что нелинейная (квадратичная) зависимость температуры от времени связана с изменением теплоемкости системы.
Максимальная температура может быть определена из последнего выражения, полагая в нем $\tau = \frac{l}{v}$,
$t_{max} = t_{0} + \frac{ \lambda}{C_{0}} \left ( 1 + \frac{ \eta}{2} \right )$. (7)
