Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2718
2017-04-05 
В установке, показанной на рисунке, массы грузов равны $m_{0} = 0,25 кг, m_{1} = 0,55 кг, m_{2} = 0,75 кг$. Грузы связаны легкой нитью, переброшенной через систему блоков. Блоки 1,2 неподвижные, блок 3 подвижный (к его оси прикреплен нижний груз), все блоки невесомы, радиус блока 3 равен $r = 2,3 см$. Найдите скорости всех грузов и угловую скорость блока 3 через время $\tau = 0,22 с$ после начала движения. Трением грузов о горизонтальные поверхности и в осях блоков пренебречь, считать, что нить движется по блокам без проскальзывания. Ускорение свободного падения считать равным $g = 9,8 \frac{м}{с^{2}}$.
Решение:
Запишем основной закон динамики для каждого их грузов в проекции на вертикальную ось с учетом условий невесомости нити и блоков, а также отсутствия трения в осях блоков:
$m_{1}a_{1} = T$
$m_{2}a_{2} = T$ , (1)
$m_{0}a_{0} = m_{0}g - 2T$
Все обозначения стандартные и очевидные. Поскольку трение грузов о плоскость отсутствует, то в горизонтальном направлении система является замкнутой, т.е. положение ее центра масс не может измениться по горизонтали. С учетом этого получаем следующее уравнение
$m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$. (2)
Кроме того, учтем кинематическую связь между ускорениями грузов для подвижного блока
$a_{1} + a_{2} = 2a_{0}$. (3)
Выразив из (2) - (3) значения $a_{1} = \frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}} a_{0}; a_{2} = \frac{2m_{1}}{m_{1} +m_{2}}a_{0}$ и подставив их в (1) найдем
$T = \frac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} a_{0}$;
$a_{0} = \frac{m_{0}(m_{1} + m_{2})}{m_{0}(m_{1} + m_{2}) + 4m_{1}m_{2}} g = 0,16 g = 1,6 \frac{м}{с^{2}}$;
$a_{1} = \frac{2m_{0}m_{2}}{m_{0}(m_{1} + m_{2}) + 4m_{1}m_{2}} g = 0,19 g = 1,9 \frac{м}{с^{2}}$;
$a_{2} = \frac{2m_{0}m_{1}}{m_{0}(m_{1} + m_{2}) + 4m_{1}m_{2}} g = 0,13 g = 1,3 \frac{м}{с^{2}}$;
Зная ускорения всех грузов, найдем их скорости через время \$tau$ после начала движения системы
$v_{0} = a_{0} \cdot \tau = 0,35 \frac{м}{с} = 35 \frac{см}{с}$;
$v_{1} = a_{1} \cdot \tau = 0,42 \frac{м}{с} = 42 \frac{см}{с}$;
$v_{2} = a_{2} \cdot \tau = 0,28 \frac{м}{с} = 28 \frac{см}{с}$;
Для нахождения угловой скорости $\omega$ вращения блока 3 заметим, что поскольку веревка нерастяжима, то скорости движения $v_{1}$ и $v_{2}$ могут быть представлены в виде
$v_{1} = v_{0} + \omega \cdot r$, (4)
$v_{2} = v_{0} - \omega \cdot r$
где $r$ - радиус блока. Из (4) находим
$\omega = \frac{v_{1} - v_{2}}{ 2r} = 3,0 \frac{рад}{с}$.
В установке, показанной на рисунке, массы грузов равны $m_{0} = 0,25 кг, m_{1} = 0,55 кг, m_{2} = 0,75 кг$. Грузы связаны легкой нитью, переброшенной через систему блоков. Блоки 1,2 неподвижные, блок 3 подвижный (к его оси прикреплен нижний груз), все блоки невесомы, радиус блока 3 равен $r = 2,3 см$. Найдите скорости всех грузов и угловую скорость блока 3 через время $\tau = 0,22 с$ после начала движения. Трением грузов о горизонтальные поверхности и в осях блоков пренебречь, считать, что нить движется по блокам без проскальзывания. Ускорение свободного падения считать равным $g = 9,8 \frac{м}{с^{2}}$.
Решение:
Запишем основной закон динамики для каждого их грузов в проекции на вертикальную ось с учетом условий невесомости нити и блоков, а также отсутствия трения в осях блоков:
$m_{1}a_{1} = T$
$m_{2}a_{2} = T$ , (1)
$m_{0}a_{0} = m_{0}g - 2T$
Все обозначения стандартные и очевидные. Поскольку трение грузов о плоскость отсутствует, то в горизонтальном направлении система является замкнутой, т.е. положение ее центра масс не может измениться по горизонтали. С учетом этого получаем следующее уравнение
$m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$. (2)
Кроме того, учтем кинематическую связь между ускорениями грузов для подвижного блока
$a_{1} + a_{2} = 2a_{0}$. (3)
Выразив из (2) - (3) значения $a_{1} = \frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}} a_{0}; a_{2} = \frac{2m_{1}}{m_{1} +m_{2}}a_{0}$ и подставив их в (1) найдем
$T = \frac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} a_{0}$;
$a_{0} = \frac{m_{0}(m_{1} + m_{2})}{m_{0}(m_{1} + m_{2}) + 4m_{1}m_{2}} g = 0,16 g = 1,6 \frac{м}{с^{2}}$;
$a_{1} = \frac{2m_{0}m_{2}}{m_{0}(m_{1} + m_{2}) + 4m_{1}m_{2}} g = 0,19 g = 1,9 \frac{м}{с^{2}}$;
$a_{2} = \frac{2m_{0}m_{1}}{m_{0}(m_{1} + m_{2}) + 4m_{1}m_{2}} g = 0,13 g = 1,3 \frac{м}{с^{2}}$;
Зная ускорения всех грузов, найдем их скорости через время \$tau$ после начала движения системы
$v_{0} = a_{0} \cdot \tau = 0,35 \frac{м}{с} = 35 \frac{см}{с}$;
$v_{1} = a_{1} \cdot \tau = 0,42 \frac{м}{с} = 42 \frac{см}{с}$;
$v_{2} = a_{2} \cdot \tau = 0,28 \frac{м}{с} = 28 \frac{см}{с}$;
Для нахождения угловой скорости $\omega$ вращения блока 3 заметим, что поскольку веревка нерастяжима, то скорости движения $v_{1}$ и $v_{2}$ могут быть представлены в виде
$v_{1} = v_{0} + \omega \cdot r$, (4)
$v_{2} = v_{0} - \omega \cdot r$
где $r$ - радиус блока. Из (4) находим
$\omega = \frac{v_{1} - v_{2}}{ 2r} = 3,0 \frac{рад}{с}$.
