Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 271
2014-05-31 
Проволочный квадрат помещают в переменное магнитное поле, вектор магнитной индукции которого перпендикулярен к плоскости квадрата и изменяется по закону $\bar{B} = \bar{B_{0}} \cos \omega t$. Во сколько раз изменится количество теплоты, выделяющееся в проволоке, если из нее сделать не квадрат, а окружность, оставляя длину проволоки неизменной?
Решение:
По закону Джоуля-Ленца количество теплоты $\Delta W$, выделяющееся в рамке за малое время $\Delta t$, определяется формулой
$\Delta W = I^{2}R \Delta t$,
где $I$ - сила тока в рамке, $R$ - сопротивление рамки. Так как длины круглой и квадратной рамок одинаковы, то одинаковы и их сопротивления. Вследствие этого отношение количества тепла $\Delta W_{1}$ и $\Delta W_{2}$, выделяемых в квадратной и круглой рамках, равно отношению квадратов протекающих в них токов:
$\Delta W_{1}/\Delta W_{2}= (I_{1}/I_{2})^{2}$. (1)
При равных сопротивлениях рамок отношение протекающих в них токов равно отношению действующих в них ЭДС:
$I_{1}/I_{2}=\cal{E_{1}}/\cal{E_{2}}$. (2)
Так как скорость изменения магнитной индукции в обеих случаях одинакова, то различие в действующих ЭДС объясняется только различием площадей рамок. Возникающие ЭДС $\cal{E_{i}}$ прямо пропорциональны площадям рамок $S_{i} (i = 1,2)$, поэтому
$\cal{E_{1}}/\cal{E_{2}}=S_{1}/S_{2}$. (3)
С учетом (2) и (3) равенство (1) принимает вид
$\Delta W_{1}/ \Delta W_{2} = (S_{1}/S_{2})^{2}$. (4)
Пусть длина проволоки есть $l$. Нетрудно показать, что площади изготовленных из нее кольца и квадрата даются формулами
$S_{1}=\frac{l^{2}}{4 \pi}; S_{2}=\frac{l^{2}}{16}$. (5)
Подставляя в (4) значения $S_{1}$ и $S_{2}$ (5), окончательно получаем
$\Delta W_{1}/ \Delta W_{2} = (4/ \pi)^{2}$.
Итак, количество теплоты, выделяющееся в круглой рамке, $(4/ \pi)^{2}$ раз больше количества теплоты, выделяющегося в квадратной рамке.
Проволочный квадрат помещают в переменное магнитное поле, вектор магнитной индукции которого перпендикулярен к плоскости квадрата и изменяется по закону $\bar{B} = \bar{B_{0}} \cos \omega t$. Во сколько раз изменится количество теплоты, выделяющееся в проволоке, если из нее сделать не квадрат, а окружность, оставляя длину проволоки неизменной?
Решение:
По закону Джоуля-Ленца количество теплоты $\Delta W$, выделяющееся в рамке за малое время $\Delta t$, определяется формулой
$\Delta W = I^{2}R \Delta t$,
где $I$ - сила тока в рамке, $R$ - сопротивление рамки. Так как длины круглой и квадратной рамок одинаковы, то одинаковы и их сопротивления. Вследствие этого отношение количества тепла $\Delta W_{1}$ и $\Delta W_{2}$, выделяемых в квадратной и круглой рамках, равно отношению квадратов протекающих в них токов:
$\Delta W_{1}/\Delta W_{2}= (I_{1}/I_{2})^{2}$. (1)
При равных сопротивлениях рамок отношение протекающих в них токов равно отношению действующих в них ЭДС:
$I_{1}/I_{2}=\cal{E_{1}}/\cal{E_{2}}$. (2)
Так как скорость изменения магнитной индукции в обеих случаях одинакова, то различие в действующих ЭДС объясняется только различием площадей рамок. Возникающие ЭДС $\cal{E_{i}}$ прямо пропорциональны площадям рамок $S_{i} (i = 1,2)$, поэтому
$\cal{E_{1}}/\cal{E_{2}}=S_{1}/S_{2}$. (3)
С учетом (2) и (3) равенство (1) принимает вид
$\Delta W_{1}/ \Delta W_{2} = (S_{1}/S_{2})^{2}$. (4)
Пусть длина проволоки есть $l$. Нетрудно показать, что площади изготовленных из нее кольца и квадрата даются формулами
$S_{1}=\frac{l^{2}}{4 \pi}; S_{2}=\frac{l^{2}}{16}$. (5)
Подставляя в (4) значения $S_{1}$ и $S_{2}$ (5), окончательно получаем
$\Delta W_{1}/ \Delta W_{2} = (4/ \pi)^{2}$.
Итак, количество теплоты, выделяющееся в круглой рамке, $(4/ \pi)^{2}$ раз больше количества теплоты, выделяющегося в квадратной рамке.
