Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2708
2017-04-03 
Вам необходимо осуществить известный трюк: выдернуть платок из-под стоящего на нем стакана. Платок лежит на краю стола, так, что длина лежащей на столе его части равна $l$, стакан стоит на платке на расстоянии $x$ от края стола, стакан можно считать материальной точкой. Масса платка пренебрежимо мала, коэффициент трения между платком и дном стакана равен $\mu$. Коэффициент трения между стаканом и столом велик настолько, что можно пренебречь движением стакана по столу. Считая, что платок выдергивается с постоянной скоростью, определите при какой минимальной скорости платка этот трюк осуществим.
Решение:
Трюк не удастся, если стакан упадет со стола. Для успеха необходимо, чтобы за время движения платка стакан не успел достичь края стола. Платок движется с постоянной скоростью $v_{0}$, следовательно время его движения $t = \frac{l}{v_{0}}$. Стакан движется под действием силы трения, поэтому если скорость стакана меньше скорости платка, то он будет двигаться с постоянным ускорением $a = \mu g$. Чтобы он не достиг края стола должно выполняться условие
$\frac{at^{2}}{2} = \frac{ \mu gl^{2}}{2v_{0}^{2}} < x$, (1)
из которого следует
$v_{0} > \sqrt{ \frac{ \mu gl^{2}}{2x}}$. (2)
Кроме того, стакан за время движения не должен достичь скорости платка - в противном случае он будет двигаться с постоянной скоростью и упадет со стола. Обозначим $t_{1}$ - время, за которое стакан достигнет скорости платка. Это время легко определить из закона равноускоренного движения стакана
$at_{1} = \mu gt_{1} = v_{0}; \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0}}{ \mu g}$. (3)
За это время стакан должен успеть соскочить с платка, что произойдет, если разность смещений платка и стакана будет меньше длины части платка за стаканом
$v_{0} t_{1} - \frac{ \mu g t_{1}^{2}}{2} < l - x$. (4)
Из соотношений (3)-(4) находим еще одно условие, налагаемое на скорость платка:
$v_{0} > \sqrt{2 \mu g (l-x)}$. (5)
Так как одновременно должны выполняться неравенства (2) и (5), следует выбрать большую из скоростей, задаваемых этими неравенствами. Определим при каких значениях $x$ следует выбрать неравенство (2), для чего рассмотрим неравенство
$\sqrt{ \frac{ \mu gl^{2}}{2x}} > \sqrt{ 2 \mu g(l-x)}$.
Путем очевидной цепочки преобразований эта неравенство приводится к виду
$l^{2} - 4lx + 4x^{2} = (l - 2x)^{2} \geq 0$.
Из которого следует, что при выполнении неравенства (2) будет выполняться и неравенство (4). Таким образом окончательный ответ задачи: скорость платка должна удовлетворять неравенству (2).
Вам необходимо осуществить известный трюк: выдернуть платок из-под стоящего на нем стакана. Платок лежит на краю стола, так, что длина лежащей на столе его части равна $l$, стакан стоит на платке на расстоянии $x$ от края стола, стакан можно считать материальной точкой. Масса платка пренебрежимо мала, коэффициент трения между платком и дном стакана равен $\mu$. Коэффициент трения между стаканом и столом велик настолько, что можно пренебречь движением стакана по столу. Считая, что платок выдергивается с постоянной скоростью, определите при какой минимальной скорости платка этот трюк осуществим.
Решение:
Трюк не удастся, если стакан упадет со стола. Для успеха необходимо, чтобы за время движения платка стакан не успел достичь края стола. Платок движется с постоянной скоростью $v_{0}$, следовательно время его движения $t = \frac{l}{v_{0}}$. Стакан движется под действием силы трения, поэтому если скорость стакана меньше скорости платка, то он будет двигаться с постоянным ускорением $a = \mu g$. Чтобы он не достиг края стола должно выполняться условие
$\frac{at^{2}}{2} = \frac{ \mu gl^{2}}{2v_{0}^{2}} < x$, (1)
из которого следует
$v_{0} > \sqrt{ \frac{ \mu gl^{2}}{2x}}$. (2)
Кроме того, стакан за время движения не должен достичь скорости платка - в противном случае он будет двигаться с постоянной скоростью и упадет со стола. Обозначим $t_{1}$ - время, за которое стакан достигнет скорости платка. Это время легко определить из закона равноускоренного движения стакана
$at_{1} = \mu gt_{1} = v_{0}; \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0}}{ \mu g}$. (3)
За это время стакан должен успеть соскочить с платка, что произойдет, если разность смещений платка и стакана будет меньше длины части платка за стаканом
$v_{0} t_{1} - \frac{ \mu g t_{1}^{2}}{2} < l - x$. (4)
Из соотношений (3)-(4) находим еще одно условие, налагаемое на скорость платка:
$v_{0} > \sqrt{2 \mu g (l-x)}$. (5)
Так как одновременно должны выполняться неравенства (2) и (5), следует выбрать большую из скоростей, задаваемых этими неравенствами. Определим при каких значениях $x$ следует выбрать неравенство (2), для чего рассмотрим неравенство
$\sqrt{ \frac{ \mu gl^{2}}{2x}} > \sqrt{ 2 \mu g(l-x)}$.
Путем очевидной цепочки преобразований эта неравенство приводится к виду
$l^{2} - 4lx + 4x^{2} = (l - 2x)^{2} \geq 0$.
Из которого следует, что при выполнении неравенства (2) будет выполняться и неравенство (4). Таким образом окончательный ответ задачи: скорость платка должна удовлетворять неравенству (2).
