Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2707
2017-04-03 
Боковая поверхность длинного цилиндра радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плоскостью заряда $\sigma$. Внутри цилиндра расположено непроводящее кольцо радиуса $a$, массы $m$, несущее заряд $q$. Ось кольца совпадает с осью цилиндра. Кольцо может свободно вращаться вокруг собственной оси, независимо от цилиндра. Цилиндр раскручивают до угловой скорости $\omega_{0}$. Чему при этом станет равной угловая скорость вращения кольца? В каком направлении оно будет вращаться?
Решение:
Вращение заряженного цилиндра эквивалентно существованию кругового электрического тока. Как известно, индукция магнитного поля внутри соленоида рассчитывается по формуле
$B = \mu_{0} nI$, (1)
где $n$ - плотность намотки, $I$ - сила тока через обмотку. Произведение $nI$ можно рассматривать как поверхностную плотность тока - заряд, протекающий в единицу времени через единицу длины боковой поверхности цилиндра. При вращении равномерно заряженного цилиндра поверхностная плотность тока может быть представлена в виде $\sigma v = \sigma R \omega$, где \$omega$ - угловая скорость вращения цилиндра.
Следовательно, в соответствии с формулой (1) индукция магнитного плоя внутри вращающегося заряженного цилиндра определяется выражением
$B = \mu_{0} \sigma R \omega$. (2)
При изменении скорости вращения (что неизбежно во время раскручивании) изменяется величина индукции поля, что в следствие явления электромагнитной индукции приводит к возникновению вихревого электрического поля. По закону Фарадея скорость изменения магнитного потока равна ЭДС индукции возникающего в контуре. Принимая во внимание осевую симметрию задачи и считая магнитное поле однородным, этот закон можно выразить в виде уравнения
$2 \pi r E = - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \pi r^{2} \mu_{0} \sigma R \frac{ \Delta \omega}{ \Delta t}$, (3)
из которого следует выражение для напряженности вихревого электрического поля
$E = - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \frac{r \mu_{0} \sigma R}{2} \frac{ \Delta \omega }{ \Delta t}$. (4)
Это поле действует на заря кольца, приводя к появлению момента сил, раскручивающего кольца. Корректное рассмотрение сил, действующих на отдельные малые элементы кольца, приводит к следующему выражению для изменения его угловой скорости
$mr \frac{ \Delta \omega_{1}}{ \Delta t} = qE$. (5)
Подставим выражение для напряженности вихревого поля (4) в уравнение (5), получим
$\frac{ \Delta \omega_{1}}{ \Delta t} = - \frac{ \mu_{0} \sigma Rq}{2m} \frac{ \Delta \omega}{ \Delta t}$. (6)
Как следует из этого уравнения угловые ускорения цилиндра и кольца пропорциональны, следовательно (с учетом нулевых начальных условий), пропорцинальны и угловые скорости вращения цилиндра и кольца, то есть
$\omega_{1} = - \frac{ \mu_{0} \sigma Rq}{2m} \omega_{0}$. (7)
Знак минус в полученном выражении указывает, что при одноименных зарядах кольца и цилиндра, кольцо будет вращаться в сторону, противоположную вращению цилиндра, в полном соответствии с правилом Ленца.
Боковая поверхность длинного цилиндра радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плоскостью заряда $\sigma$. Внутри цилиндра расположено непроводящее кольцо радиуса $a$, массы $m$, несущее заряд $q$. Ось кольца совпадает с осью цилиндра. Кольцо может свободно вращаться вокруг собственной оси, независимо от цилиндра. Цилиндр раскручивают до угловой скорости $\omega_{0}$. Чему при этом станет равной угловая скорость вращения кольца? В каком направлении оно будет вращаться?
Решение:
Вращение заряженного цилиндра эквивалентно существованию кругового электрического тока. Как известно, индукция магнитного поля внутри соленоида рассчитывается по формуле
$B = \mu_{0} nI$, (1)
где $n$ - плотность намотки, $I$ - сила тока через обмотку. Произведение $nI$ можно рассматривать как поверхностную плотность тока - заряд, протекающий в единицу времени через единицу длины боковой поверхности цилиндра. При вращении равномерно заряженного цилиндра поверхностная плотность тока может быть представлена в виде $\sigma v = \sigma R \omega$, где \$omega$ - угловая скорость вращения цилиндра.
Следовательно, в соответствии с формулой (1) индукция магнитного плоя внутри вращающегося заряженного цилиндра определяется выражением
$B = \mu_{0} \sigma R \omega$. (2)
При изменении скорости вращения (что неизбежно во время раскручивании) изменяется величина индукции поля, что в следствие явления электромагнитной индукции приводит к возникновению вихревого электрического поля. По закону Фарадея скорость изменения магнитного потока равна ЭДС индукции возникающего в контуре. Принимая во внимание осевую симметрию задачи и считая магнитное поле однородным, этот закон можно выразить в виде уравнения
$2 \pi r E = - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \pi r^{2} \mu_{0} \sigma R \frac{ \Delta \omega}{ \Delta t}$, (3)
из которого следует выражение для напряженности вихревого электрического поля
$E = - \pi r^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \frac{r \mu_{0} \sigma R}{2} \frac{ \Delta \omega }{ \Delta t}$. (4)
Это поле действует на заря кольца, приводя к появлению момента сил, раскручивающего кольца. Корректное рассмотрение сил, действующих на отдельные малые элементы кольца, приводит к следующему выражению для изменения его угловой скорости
$mr \frac{ \Delta \omega_{1}}{ \Delta t} = qE$. (5)
Подставим выражение для напряженности вихревого поля (4) в уравнение (5), получим
$\frac{ \Delta \omega_{1}}{ \Delta t} = - \frac{ \mu_{0} \sigma Rq}{2m} \frac{ \Delta \omega}{ \Delta t}$. (6)
Как следует из этого уравнения угловые ускорения цилиндра и кольца пропорциональны, следовательно (с учетом нулевых начальных условий), пропорцинальны и угловые скорости вращения цилиндра и кольца, то есть
$\omega_{1} = - \frac{ \mu_{0} \sigma Rq}{2m} \omega_{0}$. (7)
Знак минус в полученном выражении указывает, что при одноименных зарядах кольца и цилиндра, кольцо будет вращаться в сторону, противоположную вращению цилиндра, в полном соответствии с правилом Ленца.
