Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2705
2017-04-03 
В вертикальную стену вбит гвоздь А, к которому с помощью невесомой нерастяжимой нити длиной $l$ прикреплен небольшой массивный шарик. Нить с шариком отклоняют до горизонтального положения и отпускают без толчка. В процессе движения нить цепляется за гвоздь С и начинает частично наматываться на него. Укажите множество точек на стенке, в которых можно разместить гвоздь С, так чтобы в процессе движения шарик совершил полный оборот вокруг этого гвоздя. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Будем задавать расположение гвоздя С с помощью полярных координат: $r$ - расстояния от него до точки подвеса А и $\beta$ - угла между вертикалью и отрезком АС. Траектория шарика состоит из дуги окружности радиуса $l$ (до касания нити о гвоздь) и соприкасающейся окружности радиуса $l - r$ (после того, как нить начала наматываться на гвоздь). Чтобы шарик сделал полный оборот вокруг гвоздя, необходимо согласно 2 закону Ньютона, что бы в верхней точке окружности выполнялось условие
$\frac{mv^{2}}{l-r} \geq mg$. (1)
Так как шарик сохраняет свою механическую энергию, то его скорость в этой точке можно найти из равенства
$\frac{mv^{2}}{2} = mg ( r \cos \beta - l + r)$, (2)
где $(r \cos \beta - l + r)$ изменение высоты шарика. Объединяя (1) и (2), получим неравенство
$\frac{2mg( r \cos \beta - l +r )}{l - r} \geq mg$ (3)
и преобразуем его к виду
$r \geq \frac{3l}{2 \cos \beta + 3}$. (4)
Линия ограничивающая эту область является дугой эллипса. Кроме того, понятно, что $r < l$ (граница этой области -окружность). Область, точки которой удовлетворяют условию задачи, показана на рисунке.
В вертикальную стену вбит гвоздь А, к которому с помощью невесомой нерастяжимой нити длиной $l$ прикреплен небольшой массивный шарик. Нить с шариком отклоняют до горизонтального положения и отпускают без толчка. В процессе движения нить цепляется за гвоздь С и начинает частично наматываться на него. Укажите множество точек на стенке, в которых можно разместить гвоздь С, так чтобы в процессе движения шарик совершил полный оборот вокруг этого гвоздя. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Будем задавать расположение гвоздя С с помощью полярных координат: $r$ - расстояния от него до точки подвеса А и $\beta$ - угла между вертикалью и отрезком АС. Траектория шарика состоит из дуги окружности радиуса $l$ (до касания нити о гвоздь) и соприкасающейся окружности радиуса $l - r$ (после того, как нить начала наматываться на гвоздь). Чтобы шарик сделал полный оборот вокруг гвоздя, необходимо согласно 2 закону Ньютона, что бы в верхней точке окружности выполнялось условие
$\frac{mv^{2}}{l-r} \geq mg$. (1)
Так как шарик сохраняет свою механическую энергию, то его скорость в этой точке можно найти из равенства
$\frac{mv^{2}}{2} = mg ( r \cos \beta - l + r)$, (2)
где $(r \cos \beta - l + r)$ изменение высоты шарика. Объединяя (1) и (2), получим неравенство
$\frac{2mg( r \cos \beta - l +r )}{l - r} \geq mg$ (3)
и преобразуем его к виду
$r \geq \frac{3l}{2 \cos \beta + 3}$. (4)
Линия ограничивающая эту область является дугой эллипса. Кроме того, понятно, что $r < l$ (граница этой области -окружность). Область, точки которой удовлетворяют условию задачи, показана на рисунке.
