Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2703
2017-04-03 
Проводник из графита, сопротивление которого зависит от температуры, подключили к источнику напряжения, величина которого равна $U$. Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается формулой $R = R_{0}(1 - \alpha t)$, где $R_{0}, \alpha$ - постоянные положительные величины, $t$ - температура проводника, измеренная в градусах Цельсия. Проводник находится в среде, температура которой поддерживается постоянной и равной $0^{ \circ} С$. Мощность теплоты $P$, передаваемой проводником в среду, пропорциональна $\Delta t$ разности температур проводника и среды $P = \beta \Delta t$, где $\beta$ - положительный коэффициент.
а) укажите размерности коэффициентов $R_{0}, \alpha, \beta$;
б) найдите зависимость установившейся температуры проводника от напряжения источника, постройте примерный график этой зависимости;
в) найдите зависимость установившегося значения силы тока через проводник от напряжения источника, постройте примерный график этой зависимости.
Решение:
а) размерности коэффициентов следуют из вида приведенных формул:
$[ R_{0} ] = Ом; [ \alpha ] = град^{-1}; [ \beta] = \frac{[ P]}{[t]} = \frac{Вт}{град}$.
б) В установившемся режиме мощность теплоты, выделяющейся при прохождении тока через проводник (которая определяется законом Джоуля-Ленца), равна можности теплоты, отдаваемой проводником в окружающую среду
$\frac{U^{2}}{R_{0}(1 - \alpha t)} = \beta t$. (1)
Это уравнение является квадратным относительно неизвестной установившейся температуры. Решение этого уравнения имеет вид
$t = \frac{1}{2 \alpha} \left ( 1 \pm \sqrt{ 1 - \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right )$, (2)
где обозначено $U_{0} = \sqrt{ \frac{R_{0} \beta}{4 \alpha}}$.
В зависимости от приложенного напряжения $U$, уравнение (1) имеет либо два корня (при $U < U_{0}$); либо один корень (при $U = U_{0}$); либо корней не имеет (при $U > U_{0}$).
Чтобы уяснить физический смысл полученных результатов и выбрать нужное значение корня представим уравнение (1) в графической форме: изобразим примерные графики зависимости рассматриваемых мощностей от температуры проводника.
Прямая 1 является зависимостью мощности теплоты, отдаваемой в среду, кривые 2,3,4 -зависимости мощностей, выделяемых в проводнике, построенные при разных значениях напряжения источника.
Кривая 2 соответствует наличию двух корней $t_{1}, t_{2}$ уравнения 1. Можно заметить, что корень $t_{1}$ является устойчивым: при $t < t_{1}$ мощность, выделяющаяся в проводнике, превосходит мощность, отдаваемую в среду, поэтому проводник будет нагреваться; при $t > t_{1}$ ситуация обратная, поэтому проводник будет остывать до температуры $t_{1}$. Корень $t_{2}$ - неустойчив: при $t < t_{2}$ проводник будет остывать до температуры г1; при г > г2 проводник будет разогревать до бесконечности, так на этом этапе мощность, выделяемая в проводнике, возрастает быстрее мощности, отдаваемой в среду.
Кривая 3 построена для случая единственного корня, который как видно из графика неустойчив - проводник будет разогреваться.
Отсутствие корней иллюстрирует кривая 4- в этом случае отсутствует равновесное значение температуры - при любом ее значении проводник разогревается быстрее, чем остывает.
Таким образом, при $U < U_{0}$ установившаяся температура определяется формулой $t_{1} = \frac{1}{2 \alpha} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right )$, если начальная температура проводника меньше, чем $t_{2} = \frac{1}{ 2 \alpha} \left ( 1 - \sqrt{ 1 + \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right )$. В остальных случаях установившейся температуры не существует -проводник неограниченно разогревается. Примерный график рассмотренной зависимости $t(U)$ показан на рисунке.
в) зависимость силы тока от напряжения легко получить, используя закон Ома и зависимость температуры от приложенного напряжения:
$I = \frac{U}{R} = \frac{U}{R_{0}( 1 - \alpha t)} = \frac{2U}{R_{0} \left ( 1 - \sqrt{ 1 + \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right ) }
Примерный график этой зависимости $I(U)$ также показан на рисунке.
Проводник из графита, сопротивление которого зависит от температуры, подключили к источнику напряжения, величина которого равна $U$. Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается формулой $R = R_{0}(1 - \alpha t)$, где $R_{0}, \alpha$ - постоянные положительные величины, $t$ - температура проводника, измеренная в градусах Цельсия. Проводник находится в среде, температура которой поддерживается постоянной и равной $0^{ \circ} С$. Мощность теплоты $P$, передаваемой проводником в среду, пропорциональна $\Delta t$ разности температур проводника и среды $P = \beta \Delta t$, где $\beta$ - положительный коэффициент.
а) укажите размерности коэффициентов $R_{0}, \alpha, \beta$;
б) найдите зависимость установившейся температуры проводника от напряжения источника, постройте примерный график этой зависимости;
в) найдите зависимость установившегося значения силы тока через проводник от напряжения источника, постройте примерный график этой зависимости.
Решение:
а) размерности коэффициентов следуют из вида приведенных формул:
$[ R_{0} ] = Ом; [ \alpha ] = град^{-1}; [ \beta] = \frac{[ P]}{[t]} = \frac{Вт}{град}$.
б) В установившемся режиме мощность теплоты, выделяющейся при прохождении тока через проводник (которая определяется законом Джоуля-Ленца), равна можности теплоты, отдаваемой проводником в окружающую среду
$\frac{U^{2}}{R_{0}(1 - \alpha t)} = \beta t$. (1)
Это уравнение является квадратным относительно неизвестной установившейся температуры. Решение этого уравнения имеет вид
$t = \frac{1}{2 \alpha} \left ( 1 \pm \sqrt{ 1 - \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right )$, (2)
где обозначено $U_{0} = \sqrt{ \frac{R_{0} \beta}{4 \alpha}}$.
В зависимости от приложенного напряжения $U$, уравнение (1) имеет либо два корня (при $U < U_{0}$); либо один корень (при $U = U_{0}$); либо корней не имеет (при $U > U_{0}$).
Чтобы уяснить физический смысл полученных результатов и выбрать нужное значение корня представим уравнение (1) в графической форме: изобразим примерные графики зависимости рассматриваемых мощностей от температуры проводника.
Прямая 1 является зависимостью мощности теплоты, отдаваемой в среду, кривые 2,3,4 -зависимости мощностей, выделяемых в проводнике, построенные при разных значениях напряжения источника.
Кривая 2 соответствует наличию двух корней $t_{1}, t_{2}$ уравнения 1. Можно заметить, что корень $t_{1}$ является устойчивым: при $t < t_{1}$ мощность, выделяющаяся в проводнике, превосходит мощность, отдаваемую в среду, поэтому проводник будет нагреваться; при $t > t_{1}$ ситуация обратная, поэтому проводник будет остывать до температуры $t_{1}$. Корень $t_{2}$ - неустойчив: при $t < t_{2}$ проводник будет остывать до температуры г1; при г > г2 проводник будет разогревать до бесконечности, так на этом этапе мощность, выделяемая в проводнике, возрастает быстрее мощности, отдаваемой в среду.
Кривая 3 построена для случая единственного корня, который как видно из графика неустойчив - проводник будет разогреваться.
Отсутствие корней иллюстрирует кривая 4- в этом случае отсутствует равновесное значение температуры - при любом ее значении проводник разогревается быстрее, чем остывает.
Таким образом, при $U < U_{0}$ установившаяся температура определяется формулой $t_{1} = \frac{1}{2 \alpha} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right )$, если начальная температура проводника меньше, чем $t_{2} = \frac{1}{ 2 \alpha} \left ( 1 - \sqrt{ 1 + \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right )$. В остальных случаях установившейся температуры не существует -проводник неограниченно разогревается. Примерный график рассмотренной зависимости $t(U)$ показан на рисунке.
в) зависимость силы тока от напряжения легко получить, используя закон Ома и зависимость температуры от приложенного напряжения:
$I = \frac{U}{R} = \frac{U}{R_{0}( 1 - \alpha t)} = \frac{2U}{R_{0} \left ( 1 - \sqrt{ 1 + \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}} \right ) }
Примерный график этой зависимости $I(U)$ также показан на рисунке.
