Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 270
2014-05-31 
С какой наибольшей мощностью $N$ можно передать электрическую энергию от источника напряжения $U = 220 В$ потребителю по линии передачи с сопротивлением $R = 10 Ом$, если допускаемые потери не должны превышать 10%?
Решение:
Обозначим сопротивление нагрузки через $R_{1}$. Полное сопротивление цепи равно $R+R_{1}$, и по ней протекает ток
$I=\frac{U}{R+R_{1}}$.
Потери мощности в линии электропередачи
$N=I^{2}R =\frac{U^{2}R}{(R+R_{1})^{2}}$. (1)
Мощность нагрузки $N_{1}$ определяется формулой
$N_{1}=I^{2}R_{1}=frac{U^{2}R_{1}}{(R+R_{1})^{2}}$. (2)
Из уравнений (1) и (2) имеем
$N/N_{1}=R/R_{1}$. (3)
Обозначим
$N/N_{1}=n$. (4)
Тогда, как следует из (3),
$R_{1}=R/n$. (5)
Из (1) и (5) находим
$N=\frac{U^{2}}{R} \frac{n^{2}}{(1+n)^{2}}$. (6)
Путем исключения из системы двух равенств (4) и (6) неизвестного $N$ для полезной мощности $N_{1}$ находим
$N_{1}=\frac{U^{2}}{R} \frac{n}{(1+n)^{2}}$. (7)
Таким образом, полезная мощность $N_{1}$ при заданных $U$ в $R$ зависит только от $n$. Условие задачи требует найти наибольшее значение $(N_{1})_{max}$ функции $N_{1}(n)$ на промежутке $0 < n \leq 0,1$. Для этого исследуем функцию $N_{1}(n)$. Прежде всего замечаем, что она при всех положительных $n$ неотрицательна и равна нулю на концах промежутка $[0,\infty]$. Исследование функции $N_{1}(n)$ на экстремум показывает, что внутри промежутка $(0,\infty)$ имеется всего одна экстремальная точка, отвечающая значению $n = 1$.При $n = 1$ функция $N_{1}(n)$ достигает своего максимального значения. А раз так, то ясно, что при значениях $n$, принадлежащих промежутку $(0;0,1)$, функция $N_{1}(n)$ достигает своего наибольшего значения $(N_{1})_{max}$ на конце этого промежутка, т. е. при $n = 0,1$. Полагая в (7) $n = 0,1$, находим $(N_{1})_{max} = 400 Вт$.
С какой наибольшей мощностью $N$ можно передать электрическую энергию от источника напряжения $U = 220 В$ потребителю по линии передачи с сопротивлением $R = 10 Ом$, если допускаемые потери не должны превышать 10%?
Решение:
Обозначим сопротивление нагрузки через $R_{1}$. Полное сопротивление цепи равно $R+R_{1}$, и по ней протекает ток
$I=\frac{U}{R+R_{1}}$.
Потери мощности в линии электропередачи
$N=I^{2}R =\frac{U^{2}R}{(R+R_{1})^{2}}$. (1)
Мощность нагрузки $N_{1}$ определяется формулой
$N_{1}=I^{2}R_{1}=frac{U^{2}R_{1}}{(R+R_{1})^{2}}$. (2)
Из уравнений (1) и (2) имеем
$N/N_{1}=R/R_{1}$. (3)
Обозначим
$N/N_{1}=n$. (4)
Тогда, как следует из (3),
$R_{1}=R/n$. (5)
Из (1) и (5) находим
$N=\frac{U^{2}}{R} \frac{n^{2}}{(1+n)^{2}}$. (6)
Путем исключения из системы двух равенств (4) и (6) неизвестного $N$ для полезной мощности $N_{1}$ находим
$N_{1}=\frac{U^{2}}{R} \frac{n}{(1+n)^{2}}$. (7)
Таким образом, полезная мощность $N_{1}$ при заданных $U$ в $R$ зависит только от $n$. Условие задачи требует найти наибольшее значение $(N_{1})_{max}$ функции $N_{1}(n)$ на промежутке $0 < n \leq 0,1$. Для этого исследуем функцию $N_{1}(n)$. Прежде всего замечаем, что она при всех положительных $n$ неотрицательна и равна нулю на концах промежутка $[0,\infty]$. Исследование функции $N_{1}(n)$ на экстремум показывает, что внутри промежутка $(0,\infty)$ имеется всего одна экстремальная точка, отвечающая значению $n = 1$.При $n = 1$ функция $N_{1}(n)$ достигает своего максимального значения. А раз так, то ясно, что при значениях $n$, принадлежащих промежутку $(0;0,1)$, функция $N_{1}(n)$ достигает своего наибольшего значения $(N_{1})_{max}$ на конце этого промежутка, т. е. при $n = 0,1$. Полагая в (7) $n = 0,1$, находим $(N_{1})_{max} = 400 Вт$.
