Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2699
2017-04-03 
Материальная точка прошла путь $S$. Определите среднюю скорость и среднее ускорение точки за весь пройденный путь, если
а) первую половину времени движения точка двигалась с постоянной скоростью $v_{1}$, а его вторую половину с постоянной скоростью $v_{2}$;
б) первую половину пройденного пути точка двигалась с постоянной скоростью $v_{1}$, а его вторую половину с постоянной скоростью $v_{2}$;
в) первую половину времени движения точка двигалась с постоянным ускорением $a_{1}$, а его вторую половину с постоянным ускорением $a_{2}$;
г) первую половину пройденного пути точка двигалась с постоянным ускорением $a_{1}$, а его вторую половину с постоянным ускорением $a_{2}$.
В пунктах в), г) начальная скорость точки равнялась нулю, и скорость менялась непрерывно за все время движения.
Решение:
По определению, средней скоростью называется отношение пройденного пути ко времени движения $ \langle v \rangle = \frac{S}{t}$, а средним ускорением отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло $\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \Delta t}$.
а) Обозначим все время движение точки $\tau$. Тогда средняя скорость может быть рассчитана по формуле
$\langle v \rangle = \frac{ v_{1} \frac{ \tau}{2} + v_{2} \frac{ \tau}{2}}{ \tau} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$. (1)
Изменение скорости $\Delta v = v_{2} - v_{1}$, произошло за время движения $\tau = \frac{S}{ \langle v \rangle} = \frac{2S}{v_{1} + v_{2}}$, поэтому среднее ускорение
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau} = \frac{ v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{2S}$. (2)
б) В этом случае время движения $\tau = \frac{S}{2v_{1}} + \frac{S}{2v_{2}} = \frac{S}{2} \frac{v_{1} + v_{2}}{v_{1} v_{2}}$, поэтому средняя скорость
$\langle v \rangle = \frac{S}{ \tau} = \frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$, (3)
а среднее ускорение
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau} = \frac{2v_{1}v_{2} (v_{2} - v_{1})}{S(v_{2} + v_{1})}$. (4)
в) Учитывая, что начальная скорость точки на первом участке равна нулю, а начальная скорость на втором участке равна конечной скорости первого участка, запишем выражение для пройденного пути
$S = \frac{a_{1} \left ( \frac{ \tau}{2} \right )^{2}}{2} + a_{1} \left ( \frac{ \tau}{2} \right ) \left ( \frac{ \tau}{2} \right ) + \frac{a_{2} \left ( \frac{ \tau}{2} \right )^{2}}{2} = \frac{ \tau^{2}}{8} (3a_{1} + a_{2})$,
из которого определим время движения
$\tau = \sqrt{ \frac{8S}{3a_{1} + a_{2}}}$. (5)
Таким образом, средняя скорость в этом случае
$\langle v \rangle = \frac{S}{ \tau} = \sqrt{ \frac{S(3a_{1} + a_{2})}{8}}$. (6)
Изменение скорости на всем пути определяется формулой $\Delta v = a_{1} \frac{ \tau}{2} + a_{2} \frac{ \tau}{2}$, поэтому среднее ускорение в этом случае равно
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau} = \frac{ a_{1} + a_{2}}{2}$. (7)
г) Пусть первую половину пути точка прошла за время $\tau_{1}$, которое можно определить из формулы
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1} \tau_{1}^{2}}{2} \Rightarrow \tau_{1} = \sqrt{ \frac{S}{a_{1}}}$. (8)
Для второго участка пути справедливо соотношение $\frac{S}{2} = a_{1} \tau_{1} \tau_{2} + \frac{a_{2} \tau_{2}^{2}}{2}$, из которого нйдем время движения на втором участке (с учетом формулы (8))
$\tau_{2} = \sqrt{S} \frac{ \sqrt{a_{1} + a_{2}} - \sqrt{a_{1}}}{a_{2}}$. (9)
Теперь можно найти среднюю скорость
$\langle v \rangle = \sqrt{a_{1}S} \frac{a_{2}}{ a_{2} - a_{1} + \sqrt{a_{1}(a_{2} + a_{1})}}$ (10)
и среднее ускорение
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau_{1} + \tau_{2}} = \frac{ a_{1} \tau_{2} + a_{2} \tau_{2}}{ \tau_{1} + \tau_{2}} = \frac{a_{2} \sqrt{ a_{1} (a_{2} + a_{1})}}{ a_{2} - a_{1} + \sqrt{a_{1} (a_{2} + a_{1})}}$. (11)
Материальная точка прошла путь $S$. Определите среднюю скорость и среднее ускорение точки за весь пройденный путь, если
а) первую половину времени движения точка двигалась с постоянной скоростью $v_{1}$, а его вторую половину с постоянной скоростью $v_{2}$;
б) первую половину пройденного пути точка двигалась с постоянной скоростью $v_{1}$, а его вторую половину с постоянной скоростью $v_{2}$;
в) первую половину времени движения точка двигалась с постоянным ускорением $a_{1}$, а его вторую половину с постоянным ускорением $a_{2}$;
г) первую половину пройденного пути точка двигалась с постоянным ускорением $a_{1}$, а его вторую половину с постоянным ускорением $a_{2}$.
В пунктах в), г) начальная скорость точки равнялась нулю, и скорость менялась непрерывно за все время движения.
Решение:
По определению, средней скоростью называется отношение пройденного пути ко времени движения $ \langle v \rangle = \frac{S}{t}$, а средним ускорением отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло $\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \Delta t}$.
а) Обозначим все время движение точки $\tau$. Тогда средняя скорость может быть рассчитана по формуле
$\langle v \rangle = \frac{ v_{1} \frac{ \tau}{2} + v_{2} \frac{ \tau}{2}}{ \tau} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$. (1)
Изменение скорости $\Delta v = v_{2} - v_{1}$, произошло за время движения $\tau = \frac{S}{ \langle v \rangle} = \frac{2S}{v_{1} + v_{2}}$, поэтому среднее ускорение
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau} = \frac{ v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{2S}$. (2)
б) В этом случае время движения $\tau = \frac{S}{2v_{1}} + \frac{S}{2v_{2}} = \frac{S}{2} \frac{v_{1} + v_{2}}{v_{1} v_{2}}$, поэтому средняя скорость
$\langle v \rangle = \frac{S}{ \tau} = \frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$, (3)
а среднее ускорение
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau} = \frac{2v_{1}v_{2} (v_{2} - v_{1})}{S(v_{2} + v_{1})}$. (4)
в) Учитывая, что начальная скорость точки на первом участке равна нулю, а начальная скорость на втором участке равна конечной скорости первого участка, запишем выражение для пройденного пути
$S = \frac{a_{1} \left ( \frac{ \tau}{2} \right )^{2}}{2} + a_{1} \left ( \frac{ \tau}{2} \right ) \left ( \frac{ \tau}{2} \right ) + \frac{a_{2} \left ( \frac{ \tau}{2} \right )^{2}}{2} = \frac{ \tau^{2}}{8} (3a_{1} + a_{2})$,
из которого определим время движения
$\tau = \sqrt{ \frac{8S}{3a_{1} + a_{2}}}$. (5)
Таким образом, средняя скорость в этом случае
$\langle v \rangle = \frac{S}{ \tau} = \sqrt{ \frac{S(3a_{1} + a_{2})}{8}}$. (6)
Изменение скорости на всем пути определяется формулой $\Delta v = a_{1} \frac{ \tau}{2} + a_{2} \frac{ \tau}{2}$, поэтому среднее ускорение в этом случае равно
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau} = \frac{ a_{1} + a_{2}}{2}$. (7)
г) Пусть первую половину пути точка прошла за время $\tau_{1}$, которое можно определить из формулы
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1} \tau_{1}^{2}}{2} \Rightarrow \tau_{1} = \sqrt{ \frac{S}{a_{1}}}$. (8)
Для второго участка пути справедливо соотношение $\frac{S}{2} = a_{1} \tau_{1} \tau_{2} + \frac{a_{2} \tau_{2}^{2}}{2}$, из которого нйдем время движения на втором участке (с учетом формулы (8))
$\tau_{2} = \sqrt{S} \frac{ \sqrt{a_{1} + a_{2}} - \sqrt{a_{1}}}{a_{2}}$. (9)
Теперь можно найти среднюю скорость
$\langle v \rangle = \sqrt{a_{1}S} \frac{a_{2}}{ a_{2} - a_{1} + \sqrt{a_{1}(a_{2} + a_{1})}}$ (10)
и среднее ускорение
$\langle a \rangle = \frac{ \Delta v}{ \tau_{1} + \tau_{2}} = \frac{ a_{1} \tau_{2} + a_{2} \tau_{2}}{ \tau_{1} + \tau_{2}} = \frac{a_{2} \sqrt{ a_{1} (a_{2} + a_{1})}}{ a_{2} - a_{1} + \sqrt{a_{1} (a_{2} + a_{1})}}$. (11)
