Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2695
2017-04-02 
Муфта массы $m$ насажена на жесткий гладкий горизонтальный стержень АВ и с помощью легкой нерастяжимой веревки и неподвижного гладкого блока уравновешена грузом такой же массы $m$. Муфту сместили на расстояние $x_{0}$. Расстояние от оси блока до стержня $h$.
Найдите:
а) совершенную при сдвигании муфты работу внешних сил;
б) максимальную скорость муфты при движении;
в) постройте примерные графики зависимостей скоростей муфты и груза от координаты муфты;
г) пусть $h = 1,0 см, x_{0} = 1,0 м$. Оцените период колебаний муфты.
Решение:
При смещении муфты на расстояние $x$ висящий груз поднимется на высоту
$y = \sqrt{x^{2} + h^{2}} - h$. (1)
Вычисляя производную по времени от этого выражения, установим связь между скоростями муфты $v$ и груза $u$
$u = v \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + h^{2}}}$. (2)
Заметим, что последнее соотношение $u = v \cos \alpha$ можно найти путем геометрических векторных построений.
а) Работа внешних сил при смещении муфты равна изменению потенциальной энергии груза, поэтому
$A = mgy = mg( \sqrt{ x_{0}^{2} + h^{2}} - h)$. (3)
б) Заметим, что когда муфта проходит положение равновесия (нить вертикальна), скорость груза обращается в нуль. Поэтому муфта будет иметь максимальную скорость именно при прохождении положения равновесия, так как в этом положении изменение потенциальной энергии максимально, и вся запасенная энергия (3) перейдет в кинетическую энергию муфты. Эту максимальную скорость найдем из закона сохранения механической энергии
$\frac{mv_{max}^{2}}{2} = mg( \sqrt{ x_{0}^{2} + h^{2}} - h)$,
или
$v_{max} = \sqrt{ 2g( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - h)}$. (4)
в) Для определения скорости муфты в произвольной точке опять воспользуемся законом сохранения механической энергии (кинетическая энергия муфты и груза равна изменению потенциальной энергии груза):
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2} = mg (( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - h)- ( \sqrt{x^{2} + h^{2}} - h))$.
Используя соотношение (2), находим искомые скорости
муфты $v = \sqrt{2g \frac{x^{2} + h^{2}}{2x^{2} +h^{2}} ( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - \sqrt{x^{2} + h^{2}})}$, (5)
и груза $v = \sqrt{2g \frac{x^{2}}{2x^{2} + h^{2}} ( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - \sqrt{x^{2} + h^{2}})}$, (6)
Для построения графиков этих функций их удобно представить в виде
$\frac{v}{ \sqrt{2gh}} = \sqrt{ \frac{ \xi^{2} + 1}{ 2 \xi^{2} + 1} ( \sqrt{ \xi_{0}^{2} + 1} - \sqrt{ \xi^{2} + 1})}$;
$\frac{vu}{ \sqrt{2gh}} = \sqrt{ \frac{ \xi^{2}}{ 2 \xi^{2} + 1} ( \sqrt{ \xi_{0}^{2} + 1} - \sqrt{ \xi^{2} + 1})}$;
где обозначено $\xi = \frac{x}{h}$. Графики модулей этих функций (при $\xi_{0} = 2, \xi = 4$) представлены на рисунке.
г) Обратим внимание, что численные значения параметров таковы, что $x_{0} \gg h$. Поэтому практически все время движения (за исключением малого участка вблизи положения равновесия) нить, удерживающая муфту, горизонтальна. В этом случае можно приближенно считать, что муфта движется с постоянным ускорением $a = \frac{g}{2}$ (убедитесь в этом самостоятельно). Следовательно, время ее движения от крайнего положения до положения равновесия определяется формулой $\tau = \sqrt{ \frac{2x_{0}}{a}} = 2 \sqrt{ \frac{x_{0}}{g}}$, а период движения, очевидно в четыре раза больше $T = 8 \sqrt{ \frac{x_{0}}{g}} \approx 2,5 с$.
Муфта массы $m$ насажена на жесткий гладкий горизонтальный стержень АВ и с помощью легкой нерастяжимой веревки и неподвижного гладкого блока уравновешена грузом такой же массы $m$. Муфту сместили на расстояние $x_{0}$. Расстояние от оси блока до стержня $h$.
Найдите:
а) совершенную при сдвигании муфты работу внешних сил;
б) максимальную скорость муфты при движении;
в) постройте примерные графики зависимостей скоростей муфты и груза от координаты муфты;
г) пусть $h = 1,0 см, x_{0} = 1,0 м$. Оцените период колебаний муфты.
Решение:
При смещении муфты на расстояние $x$ висящий груз поднимется на высоту
$y = \sqrt{x^{2} + h^{2}} - h$. (1)
Вычисляя производную по времени от этого выражения, установим связь между скоростями муфты $v$ и груза $u$
$u = v \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + h^{2}}}$. (2)
Заметим, что последнее соотношение $u = v \cos \alpha$ можно найти путем геометрических векторных построений.
а) Работа внешних сил при смещении муфты равна изменению потенциальной энергии груза, поэтому
$A = mgy = mg( \sqrt{ x_{0}^{2} + h^{2}} - h)$. (3)
б) Заметим, что когда муфта проходит положение равновесия (нить вертикальна), скорость груза обращается в нуль. Поэтому муфта будет иметь максимальную скорость именно при прохождении положения равновесия, так как в этом положении изменение потенциальной энергии максимально, и вся запасенная энергия (3) перейдет в кинетическую энергию муфты. Эту максимальную скорость найдем из закона сохранения механической энергии
$\frac{mv_{max}^{2}}{2} = mg( \sqrt{ x_{0}^{2} + h^{2}} - h)$,
или
$v_{max} = \sqrt{ 2g( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - h)}$. (4)
в) Для определения скорости муфты в произвольной точке опять воспользуемся законом сохранения механической энергии (кинетическая энергия муфты и груза равна изменению потенциальной энергии груза):
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2} = mg (( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - h)- ( \sqrt{x^{2} + h^{2}} - h))$.
Используя соотношение (2), находим искомые скорости
муфты $v = \sqrt{2g \frac{x^{2} + h^{2}}{2x^{2} +h^{2}} ( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - \sqrt{x^{2} + h^{2}})}$, (5)
и груза $v = \sqrt{2g \frac{x^{2}}{2x^{2} + h^{2}} ( \sqrt{x_{0}^{2} + h^{2}} - \sqrt{x^{2} + h^{2}})}$, (6)
Для построения графиков этих функций их удобно представить в виде
$\frac{v}{ \sqrt{2gh}} = \sqrt{ \frac{ \xi^{2} + 1}{ 2 \xi^{2} + 1} ( \sqrt{ \xi_{0}^{2} + 1} - \sqrt{ \xi^{2} + 1})}$;
$\frac{vu}{ \sqrt{2gh}} = \sqrt{ \frac{ \xi^{2}}{ 2 \xi^{2} + 1} ( \sqrt{ \xi_{0}^{2} + 1} - \sqrt{ \xi^{2} + 1})}$;
где обозначено $\xi = \frac{x}{h}$. Графики модулей этих функций (при $\xi_{0} = 2, \xi = 4$) представлены на рисунке.
г) Обратим внимание, что численные значения параметров таковы, что $x_{0} \gg h$. Поэтому практически все время движения (за исключением малого участка вблизи положения равновесия) нить, удерживающая муфту, горизонтальна. В этом случае можно приближенно считать, что муфта движется с постоянным ускорением $a = \frac{g}{2}$ (убедитесь в этом самостоятельно). Следовательно, время ее движения от крайнего положения до положения равновесия определяется формулой $\tau = \sqrt{ \frac{2x_{0}}{a}} = 2 \sqrt{ \frac{x_{0}}{g}}$, а период движения, очевидно в четыре раза больше $T = 8 \sqrt{ \frac{x_{0}}{g}} \approx 2,5 с$.
