Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2692
2017-04-02 
Электрическая цепь собрана из трех одинаковых вольтметров и трех одинаковых резисторов. Показание первого вольтметра $U_{1} = 10 В$, показание третьего вольтметра $U_{3} = 8,0 В$. Чему равно показание второго вольтметра.
Решение:
Различия в показаниях вольтметров, возникаю из-за того, что они не являются идеальными, то есть имеют конечное сопротивление, которое мы обозначим $R_{V}$, которое сравнимо с сопротивлением резисторов $R$.
На схеме указаны обозначения токов, текущих через различные элементы схемы. Используя законы последовательного и параллельного соединения, можно записать следующие уравнения
$U_{3} = I_{3} R{V}$
$U_{2} = I_{3} (R + R_{V})$. (1)
$U_{1} = I_{2} R + U_{2}$
Выразим силу тока $I_{2}$ через силу тока $I_{3}$, используя систему уравнений
$I_{2} = I_{2}^{ \prime} + I_{3}$, (2)
$I_{2}^{ \prime} R_{V} = U_{2}$
из которой следует
$I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{V}} + I_{3}$. (3)
Не смотря на то, что в системе 4 уравнений (1), (3) содержится 5 неизвестных, из нее можно найти значение $U_{2}$.
Действительно, в третье уравнение системы (1) подставим выражение (3)
$U_{1} = \left ( \frac{U_{2}}{R_{V}} + I_{3} \right ) R + U_{2}$. (4)
А из первых двух уравнений этой же системы выразим:
$I_{3}R = U_{2} - U_{3}$ (из разности этих уравнений);
$\frac{R}{R_{V}} = \frac{U_{2}}{U_{3}} - 1$ (из частного этих уравнений);
и подставим их в уравнение (4)
$U_{1} = U_{2} \left ( \frac{U_{2}}{U_{3}} - 1 \right ) + U_{2} - U_{3} + U_{2}$.
Решение этого квадратного уравнения имеет вид
$U_{2} = \frac{ \sqrt{5U_{3}^{2} + 4U_{1}U_{2}} - U_{3}}{2} \approx 8,68 В$.
Отрицательный корень мы отбросили, как не имеющий физического смысла.
Отметим, что в нашей цепи $R_{V} \approx 12R$, что подтверждает наше исходное предположение.
Электрическая цепь собрана из трех одинаковых вольтметров и трех одинаковых резисторов. Показание первого вольтметра $U_{1} = 10 В$, показание третьего вольтметра $U_{3} = 8,0 В$. Чему равно показание второго вольтметра.
Решение:
Различия в показаниях вольтметров, возникаю из-за того, что они не являются идеальными, то есть имеют конечное сопротивление, которое мы обозначим $R_{V}$, которое сравнимо с сопротивлением резисторов $R$.
На схеме указаны обозначения токов, текущих через различные элементы схемы. Используя законы последовательного и параллельного соединения, можно записать следующие уравнения
$U_{3} = I_{3} R{V}$
$U_{2} = I_{3} (R + R_{V})$. (1)
$U_{1} = I_{2} R + U_{2}$
Выразим силу тока $I_{2}$ через силу тока $I_{3}$, используя систему уравнений
$I_{2} = I_{2}^{ \prime} + I_{3}$, (2)
$I_{2}^{ \prime} R_{V} = U_{2}$
из которой следует
$I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{V}} + I_{3}$. (3)
Не смотря на то, что в системе 4 уравнений (1), (3) содержится 5 неизвестных, из нее можно найти значение $U_{2}$.
Действительно, в третье уравнение системы (1) подставим выражение (3)
$U_{1} = \left ( \frac{U_{2}}{R_{V}} + I_{3} \right ) R + U_{2}$. (4)
А из первых двух уравнений этой же системы выразим:
$I_{3}R = U_{2} - U_{3}$ (из разности этих уравнений);
$\frac{R}{R_{V}} = \frac{U_{2}}{U_{3}} - 1$ (из частного этих уравнений);
и подставим их в уравнение (4)
$U_{1} = U_{2} \left ( \frac{U_{2}}{U_{3}} - 1 \right ) + U_{2} - U_{3} + U_{2}$.
Решение этого квадратного уравнения имеет вид
$U_{2} = \frac{ \sqrt{5U_{3}^{2} + 4U_{1}U_{2}} - U_{3}}{2} \approx 8,68 В$.
Отрицательный корень мы отбросили, как не имеющий физического смысла.
Отметим, что в нашей цепи $R_{V} \approx 12R$, что подтверждает наше исходное предположение.
