Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2691
2017-04-02 
Два корабля движутся с постоянными и одинаковыми по модулю скоростями $| \vec{V}_{1}| = | \vec{V}_{2}| = v$. В некоторый момент времени расстояние между ними оказалось равным $L$, а их взаимное расположение таким, как показано на рисунке. Угол $\alpha = 60^{ \circ}$.
а) Определите минимальное расстояние между кораблями в процессе движения.
б) Капитану корабля В необходимо передать сообщение на корабль А. Для этого с корабля спускаю шлюпку, которая может двигаться со скоростью $u$. За какое минимальное время шлюпка может достичь корабль А, если $u = v$.
в) Пусть $u < v$. Через какой максимальный промежуток времени может отправиться шлюпка с корабля В , чтобы она смогла достичь корабль А?
г) Капитан корабля В решает отправить сообщение с помощью пневматической пушки. Какова должна быть минимальная начальная скорость «снаряда - сообщения», чтобы он смог достичь корабль А? Считайте, что скорость снаряда значительно больше скорости кораблей.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной скоростью $\vec{V}_{отн} = \vec{V}_{2} - \vec{V}_{1}$. Модуль этой скорости равен
$| \vec{V}_{отн}| = 2v \cos \frac{ \alpha}{2}$, (1)
а ее вектор направлен под углом $\frac{ \alpha}{2} = 30^{ \circ}$ к отрезку АВ (см рис). Следовательно, корабль В движется относительно корабля А по прямой ВС.
а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно
$l_{min} = L \sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{L}{2}$. (2)
б) Очевидно, что шлюпка, спущенная с корабля В, достигнет корабля А за минимальное время, если скорость их сближения максимальна, а начальное расстояние между ними минимально. Эти условия будут выполнены, если шлюпку сразу спустить на воду и направить ее навстречу кораблю А. Тогда время, за которое шлюпка достигнет корабля А вычисляется по формуле
$t_{min} = \frac{L}{2v}$. (3)
в) Пусть капитан корабля В отправляет шлюпку через время $\tau$ (нам необходимо найти его максимально возможное значение) в точке S, а затем через время $t$ шлюпка встречается с кораблем А в точке D (см. рис.). За это время корабль А пройдет путь $|AD| = v(t + \tau)$. Как следует из рис., чтобы шлюпка и корабль А встретились должно выполняться условие (которое следует из теоремы косинусов для треугольника BSD)
$(ut)^{2} = (v \tau)^{2} + (L - v(t + \tau))^{2} - 2(v \tau t)(L - v(t + \tau)) \cos \alpha$. (4)
Для того, чтобы найти максимальное значение времени $\tau$ необходимо рассмотреть выражение (4) как уравнение относительно величины $t$ и определить условия (значения $\tau$), при которых оно имеет неотрицательное решение. В принципе этот путь решения задачи приведет к успеху, правда путем долгих и громоздких алгебраических преобразований.
Кстати, это же уравнение (при $u = v$) можно использовать для алгебраического обоснования результата, полученного в п. б). Решив это уравнение относительно $t$, можно получить зависимость времени движения $(t + \tau)$ от времени $\tau$, а затем найти минимум этой функции. Этот способ приводит к уже полученному результату: функция $(t + \tau)$ монотонно возрастает с ростом $\tau$, следовательно ее минимум достигается при $\tau = О$.
Вернемся к решению пункта в). Опять рассмотрим движение кораблей в системе отсчета, связанной с кораблем А. В этой системе диаграмма перемещений кораблей и шлюпки имеет вид, показанный на рис., здесь обозначено $\beta = \frac{ \alpha}{2}, \vec{u}_{отн} = \vec{V}_{2} - \vec{V}_{1}$ - скорость шлюпки, относительно корабля А. На рисунке видно, что время $\tau$ (или что то же самое перемещение $V \tau$) будет максимально при максимальном угле $\gamma$, между направлением относительной скорости $\vec{u}_{отн}$ и отрезком АВ. Максимальное значение этого угла можно найти, построив диаграмму скоростей (рис. ). Вектор скорости шлюпки $\vec{u}$ может быть направлен под произвольным углом, иными словами его конец может располагаться в любой точке нарисованной окружности. Как следует из рисунка угол $\gamma$ будет максимален, если вектор $\vec{u}_{отн}$ будет касательным к этой окружности. Таким образом, $\sin \gamma_{max} = \frac{u}{v}$.
Запишем теорему синусов для треугольника АBS
$\frac{V \tau_{max}}{ \sin \gamma_{max}} = \frac{L}{ \sin ( \pi - \beta - \gamma_{max})}$, (5)
где $( \pi - \beta - \gamma_{max})$ - угол ASB. Из выражения (5) находим
$\tau_{max} = \frac{L}{V} \frac{ \sin \gamma_{max}}{ \sin ( \beta + \gamma_{max})} = \frac{L}{2v \cos \beta} \frac{ \sin \gamma_{max}}{ \sin \beta \cos \gamma_{max} + \sin \gamma_{max} \cos \beta} = \frac{L}{v} \frac{ \sin \gamma_{max}}{ \sin 2 \beta \sqrt{ 1 - \sin^{2} \gamma_{max}} + \sin \gamma_{max} 2 \cos^{2} \beta} = \frac{L}{v} \frac{2}{ \sqrt{3} \sqrt{ \left ( \frac{v}{u} \right )^{2} - 1} + 3}$. (6)
Отметим, что при
1) $u \rightarrow 0 \tau_{max} \rightarrow 0$, т.е. шлюпку надо сразу спускать на воду и ждать пока к ней подплывет второй корабль;
2) при $u = v$, капитан может подождать в течении времени $\tau_{max} = \frac{2L}{3V}$;
3) при $u > v$ шлюпка может догнать корабль после любого времени ожидания $\tau$.
г) Скорость снаряда будет минимальна, если он пролетит минимальное расстояние, будучи выпущен под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Следовательно эту скорость можно найти из уравнения $\frac{v_{min}^{2}}{g} = l_{min}$, или
$v_{min} = \sqrt{ \frac{Lg}{2}}$.
Два корабля движутся с постоянными и одинаковыми по модулю скоростями $| \vec{V}_{1}| = | \vec{V}_{2}| = v$. В некоторый момент времени расстояние между ними оказалось равным $L$, а их взаимное расположение таким, как показано на рисунке. Угол $\alpha = 60^{ \circ}$.
а) Определите минимальное расстояние между кораблями в процессе движения.
б) Капитану корабля В необходимо передать сообщение на корабль А. Для этого с корабля спускаю шлюпку, которая может двигаться со скоростью $u$. За какое минимальное время шлюпка может достичь корабль А, если $u = v$.
в) Пусть $u < v$. Через какой максимальный промежуток времени может отправиться шлюпка с корабля В , чтобы она смогла достичь корабль А?
г) Капитан корабля В решает отправить сообщение с помощью пневматической пушки. Какова должна быть минимальная начальная скорость «снаряда - сообщения», чтобы он смог достичь корабль А? Считайте, что скорость снаряда значительно больше скорости кораблей.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с кораблем А. В этой системе корабль В движется с относительной скоростью $\vec{V}_{отн} = \vec{V}_{2} - \vec{V}_{1}$. Модуль этой скорости равен
$| \vec{V}_{отн}| = 2v \cos \frac{ \alpha}{2}$, (1)
а ее вектор направлен под углом $\frac{ \alpha}{2} = 30^{ \circ}$ к отрезку АВ (см рис). Следовательно, корабль В движется относительно корабля А по прямой ВС.
а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки А до прямой ВС, которое равно
$l_{min} = L \sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{L}{2}$. (2)
б) Очевидно, что шлюпка, спущенная с корабля В, достигнет корабля А за минимальное время, если скорость их сближения максимальна, а начальное расстояние между ними минимально. Эти условия будут выполнены, если шлюпку сразу спустить на воду и направить ее навстречу кораблю А. Тогда время, за которое шлюпка достигнет корабля А вычисляется по формуле
$t_{min} = \frac{L}{2v}$. (3)
в) Пусть капитан корабля В отправляет шлюпку через время $\tau$ (нам необходимо найти его максимально возможное значение) в точке S, а затем через время $t$ шлюпка встречается с кораблем А в точке D (см. рис.). За это время корабль А пройдет путь $|AD| = v(t + \tau)$. Как следует из рис., чтобы шлюпка и корабль А встретились должно выполняться условие (которое следует из теоремы косинусов для треугольника BSD)
$(ut)^{2} = (v \tau)^{2} + (L - v(t + \tau))^{2} - 2(v \tau t)(L - v(t + \tau)) \cos \alpha$. (4)
Для того, чтобы найти максимальное значение времени $\tau$ необходимо рассмотреть выражение (4) как уравнение относительно величины $t$ и определить условия (значения $\tau$), при которых оно имеет неотрицательное решение. В принципе этот путь решения задачи приведет к успеху, правда путем долгих и громоздких алгебраических преобразований.
Кстати, это же уравнение (при $u = v$) можно использовать для алгебраического обоснования результата, полученного в п. б). Решив это уравнение относительно $t$, можно получить зависимость времени движения $(t + \tau)$ от времени $\tau$, а затем найти минимум этой функции. Этот способ приводит к уже полученному результату: функция $(t + \tau)$ монотонно возрастает с ростом $\tau$, следовательно ее минимум достигается при $\tau = О$.
Вернемся к решению пункта в). Опять рассмотрим движение кораблей в системе отсчета, связанной с кораблем А. В этой системе диаграмма перемещений кораблей и шлюпки имеет вид, показанный на рис., здесь обозначено $\beta = \frac{ \alpha}{2}, \vec{u}_{отн} = \vec{V}_{2} - \vec{V}_{1}$ - скорость шлюпки, относительно корабля А. На рисунке видно, что время $\tau$ (или что то же самое перемещение $V \tau$) будет максимально при максимальном угле $\gamma$, между направлением относительной скорости $\vec{u}_{отн}$ и отрезком АВ. Максимальное значение этого угла можно найти, построив диаграмму скоростей (рис. ). Вектор скорости шлюпки $\vec{u}$ может быть направлен под произвольным углом, иными словами его конец может располагаться в любой точке нарисованной окружности. Как следует из рисунка угол $\gamma$ будет максимален, если вектор $\vec{u}_{отн}$ будет касательным к этой окружности. Таким образом, $\sin \gamma_{max} = \frac{u}{v}$.
Запишем теорему синусов для треугольника АBS
$\frac{V \tau_{max}}{ \sin \gamma_{max}} = \frac{L}{ \sin ( \pi - \beta - \gamma_{max})}$, (5)
где $( \pi - \beta - \gamma_{max})$ - угол ASB. Из выражения (5) находим
$\tau_{max} = \frac{L}{V} \frac{ \sin \gamma_{max}}{ \sin ( \beta + \gamma_{max})} = \frac{L}{2v \cos \beta} \frac{ \sin \gamma_{max}}{ \sin \beta \cos \gamma_{max} + \sin \gamma_{max} \cos \beta} = \frac{L}{v} \frac{ \sin \gamma_{max}}{ \sin 2 \beta \sqrt{ 1 - \sin^{2} \gamma_{max}} + \sin \gamma_{max} 2 \cos^{2} \beta} = \frac{L}{v} \frac{2}{ \sqrt{3} \sqrt{ \left ( \frac{v}{u} \right )^{2} - 1} + 3}$. (6)
Отметим, что при
1) $u \rightarrow 0 \tau_{max} \rightarrow 0$, т.е. шлюпку надо сразу спускать на воду и ждать пока к ней подплывет второй корабль;
2) при $u = v$, капитан может подождать в течении времени $\tau_{max} = \frac{2L}{3V}$;
3) при $u > v$ шлюпка может догнать корабль после любого времени ожидания $\tau$.
г) Скорость снаряда будет минимальна, если он пролетит минимальное расстояние, будучи выпущен под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Следовательно эту скорость можно найти из уравнения $\frac{v_{min}^{2}}{g} = l_{min}$, или
$v_{min} = \sqrt{ \frac{Lg}{2}}$.
