Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2690
2017-04-02 
Молярная теплоемкость $C_{v}$ (при изохорном процессе) идеального газа зависит от температуры по закону, представленному на рисунке ($R = 8,31 \frac{Дж}{К \cdot моль}$ - универсальная газовая постоянная). При температуре $T_{0} = 800 K$ один моль этого газа занимает объем $v_{0} = 1,0 л$. Постройте примерный график (в координатах P-V) адиабатного процесса для этого газа в заданном диапазоне температур (полагая, что число частиц газа остается неизменным).
Решение:
Запишем уравнение перового начала термодинамики
$Q = \Delta U + A$. (1)
Для адиабатного процесса $Q = 0$, кроме того, для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объема газа, поэтому изменение внутренней энергии газа задается формулой $\Delta U = C_{V} \Delta T$. Так как в нашем случае теплоемкость газа изменяется, необходимо рассматривать малые интервалы изменения температуры. Традиционное выражение для совершенной газом работы $A = P \Delta V$ необходимо преобразовать с использованием уравнения состояния идеального газа $PV = RT$. Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (1) принимает вид
$C_{V} \Delta T + \frac{RT}{V} \Delta V = 0$, (2)
из которого выразим зависимость изменения объема от изменения температуры
$\Delta V = - V \frac{C_{V} \Delta T}{RT} = - cV \frac{ \Delta T}{T}$, (3)
где обозначено $c = \frac{C_{V}}{R}$ - величина, приведенная на графике.
Уравнение (3) необходимо решать численно, разбивая заданный диапазон изменения температуры на небольшие интервалы $\Delta T$. Для увеличения точности расчетов в качестве $c$ и $T$ следует брать средние значения этих величин на выбранном интервале. Если мы пронумеруем точки разбиения диапазона индексом $k$, то схему расчетов можно представить в виде
$\Delta V = - \frac{c_{k} + c_{k+1}}{2} V_{k} \frac{2 \Delta T}{T_{k} + T_{k+1}} = - V_{k} \frac{c_{k} + c_{k+1}}{T_{k} + T_{k+1}} \Delta T$;
$V_{k+1} = V_{k} + \Delta V; P_{k} = \frac{RT_{k}}{V_{k}}$ (4)
В таблице представлены результаты расчетов, проведенные при шаге $\Delta T = - 50 К$. Отрицательное значение этой величины обусловлено начальным условием - объем задан при максимальной температуре. При расчетах на калькуляторе удобнее сначала подсчитать значения всех объемов, а уже затем соответствующие значения давлений.
Ниже эти же данные представлены в виде графика. Сплошная линия - адиабата для постоянного значения теплоемкости $C_{V} = 3R$. Практически полное совпадение свидетельствует, с одной стороны, о слабом влиянии изменения теплоемкости, а с другой, о достаточно высокой точности примененной процедуры расчета.
Молярная теплоемкость $C_{v}$ (при изохорном процессе) идеального газа зависит от температуры по закону, представленному на рисунке ($R = 8,31 \frac{Дж}{К \cdot моль}$ - универсальная газовая постоянная). При температуре $T_{0} = 800 K$ один моль этого газа занимает объем $v_{0} = 1,0 л$. Постройте примерный график (в координатах P-V) адиабатного процесса для этого газа в заданном диапазоне температур (полагая, что число частиц газа остается неизменным).
Решение:
Запишем уравнение перового начала термодинамики
$Q = \Delta U + A$. (1)
Для адиабатного процесса $Q = 0$, кроме того, для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объема газа, поэтому изменение внутренней энергии газа задается формулой $\Delta U = C_{V} \Delta T$. Так как в нашем случае теплоемкость газа изменяется, необходимо рассматривать малые интервалы изменения температуры. Традиционное выражение для совершенной газом работы $A = P \Delta V$ необходимо преобразовать с использованием уравнения состояния идеального газа $PV = RT$. Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (1) принимает вид
$C_{V} \Delta T + \frac{RT}{V} \Delta V = 0$, (2)
из которого выразим зависимость изменения объема от изменения температуры
$\Delta V = - V \frac{C_{V} \Delta T}{RT} = - cV \frac{ \Delta T}{T}$, (3)
где обозначено $c = \frac{C_{V}}{R}$ - величина, приведенная на графике.
Уравнение (3) необходимо решать численно, разбивая заданный диапазон изменения температуры на небольшие интервалы $\Delta T$. Для увеличения точности расчетов в качестве $c$ и $T$ следует брать средние значения этих величин на выбранном интервале. Если мы пронумеруем точки разбиения диапазона индексом $k$, то схему расчетов можно представить в виде
$\Delta V = - \frac{c_{k} + c_{k+1}}{2} V_{k} \frac{2 \Delta T}{T_{k} + T_{k+1}} = - V_{k} \frac{c_{k} + c_{k+1}}{T_{k} + T_{k+1}} \Delta T$;
$V_{k+1} = V_{k} + \Delta V; P_{k} = \frac{RT_{k}}{V_{k}}$ (4)
В таблице представлены результаты расчетов, проведенные при шаге $\Delta T = - 50 К$. Отрицательное значение этой величины обусловлено начальным условием - объем задан при максимальной температуре. При расчетах на калькуляторе удобнее сначала подсчитать значения всех объемов, а уже затем соответствующие значения давлений.
Ниже эти же данные представлены в виде графика. Сплошная линия - адиабата для постоянного значения теплоемкости $C_{V} = 3R$. Практически полное совпадение свидетельствует, с одной стороны, о слабом влиянии изменения теплоемкости, а с другой, о достаточно высокой точности примененной процедуры расчета.
