Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2688
2017-04-02 
Для установки обелиска высотой $h$ насыпан холм с углом уклона равным $\alpha$. Обелиск лежит на склоне холма, опираясь своей нижней частью на фундамент. К вершине обелиска прикрепляют прочный трос, который натягивают с помощью лебедки, расположенной на расстоянии $l = 2h$ от основания обелиска. При каком минимальном коэффициенте трения обелиска о фундамент $\mu$, подъем обелиска мог быть осуществлен? Обелиск можно считать тонким однородным стержнем.
Решение:
На рисунке изображены силы, действующие на обелиск во время подъема (все обозначения традиционные). Для того чтобы обелиск не соскользнул с фундамента, необходимо, чтобы сила трения покоя не превысила своего максимального значения $\mu N$. Будем считать, что подъем осуществляется медленно, поэтому в любой момент времени сумма сил равна нулю. Это условие в проекции на горизонтальное и вертикальное направления имеет вид
$F_{тр} = T \cos \beta$
$N = mg + T \sin \beta$ (1)
Следовательно, условие возможности подъема записывается в виде неравенства
$T \cos \beta \leq \mu (mg + T \sin \beta)$. (2)
Для определения силы натяжения троса запишем условие равновесия для моментов сил относительно точки опоры
$Tl \sin \beta = mg \frac{h}{2} \cos \alpha$, (3)
здесь $l \sin \beta$ плечо силы натяжения троса. Из этого уравнения найдем
$T = \frac{mg \cos \alpha}{4 \sin \beta}$
и подставим в неравенство (2), которое упрощается
$\mu \geq \frac{ \cos \alpha }{(4 + \cos \alpha) tg ~ \beta}$. (4)
Тангенс угла $\beta$ выразим из треугольника ABE
$tg ~ \beta = \frac{h \sin \alpha}{l + h \cos \alpha} = \frac{ \sin \alpha}{2 + \cos \alpha}$. (5)
Окончательно, получаем требуемое условие
$\mu \geq \frac{(2 + \cos \alpha) \cos \alpha}{(4 + \cos \alpha) \sin \alpha}$. (6)
Можно показать (на рис. показан ее график), что стоящая справа функция является монотонно убывающей, поэтому, если скольжение не началось в начальный момент подъема (при минимальном значении угла $\alpha$), то оно не начнется и позже.
Для установки обелиска высотой $h$ насыпан холм с углом уклона равным $\alpha$. Обелиск лежит на склоне холма, опираясь своей нижней частью на фундамент. К вершине обелиска прикрепляют прочный трос, который натягивают с помощью лебедки, расположенной на расстоянии $l = 2h$ от основания обелиска. При каком минимальном коэффициенте трения обелиска о фундамент $\mu$, подъем обелиска мог быть осуществлен? Обелиск можно считать тонким однородным стержнем.
Решение:
На рисунке изображены силы, действующие на обелиск во время подъема (все обозначения традиционные). Для того чтобы обелиск не соскользнул с фундамента, необходимо, чтобы сила трения покоя не превысила своего максимального значения $\mu N$. Будем считать, что подъем осуществляется медленно, поэтому в любой момент времени сумма сил равна нулю. Это условие в проекции на горизонтальное и вертикальное направления имеет вид
$F_{тр} = T \cos \beta$
$N = mg + T \sin \beta$ (1)
Следовательно, условие возможности подъема записывается в виде неравенства
$T \cos \beta \leq \mu (mg + T \sin \beta)$. (2)
Для определения силы натяжения троса запишем условие равновесия для моментов сил относительно точки опоры
$Tl \sin \beta = mg \frac{h}{2} \cos \alpha$, (3)
здесь $l \sin \beta$ плечо силы натяжения троса. Из этого уравнения найдем
$T = \frac{mg \cos \alpha}{4 \sin \beta}$
и подставим в неравенство (2), которое упрощается
$\mu \geq \frac{ \cos \alpha }{(4 + \cos \alpha) tg ~ \beta}$. (4)
Тангенс угла $\beta$ выразим из треугольника ABE
$tg ~ \beta = \frac{h \sin \alpha}{l + h \cos \alpha} = \frac{ \sin \alpha}{2 + \cos \alpha}$. (5)
Окончательно, получаем требуемое условие
$\mu \geq \frac{(2 + \cos \alpha) \cos \alpha}{(4 + \cos \alpha) \sin \alpha}$. (6)
Можно показать (на рис. показан ее график), что стоящая справа функция является монотонно убывающей, поэтому, если скольжение не началось в начальный момент подъема (при минимальном значении угла $\alpha$), то оно не начнется и позже.
