Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2687
2017-04-02 
Изотропный точечный источник света S, полная энергетическая световая мощность которого равна $I$, расположен в фокусе собирающей линзы радиуса $r$. Фокусное расстояние линзы равно $F$. Пренебрегая поглощением и дисперсией света, найдите величину и направление силы светового давления на линзу.
Решение:
Для расчета силы светового давления воспользуемся корпускулярными представлениями о природе света. Каждый фотон обладает энергией $\epsilon$ и импульсом $p$, которые определяются формулами
$\epsilon = h \nu, p = \frac{h \nu}{c} = \frac{ \epsilon}{c}$, (1)
где $\nu$ - частота света, $h$ - постоянная Планка, $c$ - скорость света.
Всякое изменение направления распространения приводит к изменению направления вектора импульса, следовательно, должно сопровождаться появлением силы светового давления. При прохождении света через линзу расходящийся пучок превращается в параллельный.
Рассмотрим изменение импульса отдельного фотона при его преломлении в линзе. Если до линзы импульс фотона был $\vec{p}_{0}$, а после прохождения стал $\vec{p}_{1}$ (модуль вектора при этом, естественно, не изменяется), то фотон получил приращение импульса $\Delta \vec{p}$. Равный ему, но противоположный по направлению импульс $\vec{p}_{л}$ получит линза. Таким образом, в целом линза получит импульс, направленный в сторону источника - линза притягивается к источнику!
Для расчета силы, действующей на линзу необходимо рассчитать суммарное изменение импульса света при его прохождении через линзу. Рассмотрим сферическую поверхность с центром на источнике света, с радиусом равным фокусному расстоянию. Через линзу пройдут те фотоны, которые летят в пределах телесного угла, опирающегося на линзу. После преломления все эти фотоны будут двигаться вдоль оптической оси, поэтому импульс переносимый этими фотонами в единицу времени можно подсчитать следующим образом. Поток энергии, деленный на скорость света, равен потоку импульса (то есть, импульсу, переносимому в единицу времени). Плотность этого потока (поток через единичную площадь) на выбранной нами сфере определяется выражением
$G = \frac{I}{4 \pi F^{2}c}$. (2)
Тогда поток импульса фотонов, прошедших через линзу, равен
$P_{1} = GS_{ \omega} = \frac{I}{4 \pi F^{2}c} 2\pi F (F - \sqrt{F^{2} - r^{2}} = \frac{I}{2c} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{r^{2}}{F^{2}}} \right )$, (3)
здесь $S_{ \Sigma}$ - площадь поверхности сферического сегмента, опирающегося на линзу.
Для подсчета импульса этих фотонов до преломления в линзе необходимо просуммировать проекции импульсов на направление оптической оси, так как из осевой симметрии следует, что суммарный импульс будет направлен вдоль оси. Разобьем поверхность сферы на малые участки $\Delta S$, запишем выражение для проекции потока импульса через этот участок
$\Delta P_{0z} = G \Delta S \cos \theta$, (4)
и обратим внимание, что $\Delta S \cos \theta = \Delta S_{0}$ есть площадь проекции выделенного участка на плоскость линзы. Поэтому сумма величин типа (4) будет равна произведению плотности потока импульса на площадь линзы
$P_{0} = G \pi r^{2} = \frac{I}{2c} \frac{r^{2}}{2F^{2}}$. (5)
Таким образом, сила давления / равна разности потоков импульсов (3) и (5)
$f = \frac{I}{2c} \left ( 1 \sqrt{ 1 - \frac{r^{2}}{F^{2}} } - \frac{r^{2}}{2F^{2}} \right )$. (6)
Изотропный точечный источник света S, полная энергетическая световая мощность которого равна $I$, расположен в фокусе собирающей линзы радиуса $r$. Фокусное расстояние линзы равно $F$. Пренебрегая поглощением и дисперсией света, найдите величину и направление силы светового давления на линзу.
Решение:
Для расчета силы светового давления воспользуемся корпускулярными представлениями о природе света. Каждый фотон обладает энергией $\epsilon$ и импульсом $p$, которые определяются формулами
$\epsilon = h \nu, p = \frac{h \nu}{c} = \frac{ \epsilon}{c}$, (1)
где $\nu$ - частота света, $h$ - постоянная Планка, $c$ - скорость света.
Всякое изменение направления распространения приводит к изменению направления вектора импульса, следовательно, должно сопровождаться появлением силы светового давления. При прохождении света через линзу расходящийся пучок превращается в параллельный.
Рассмотрим изменение импульса отдельного фотона при его преломлении в линзе. Если до линзы импульс фотона был $\vec{p}_{0}$, а после прохождения стал $\vec{p}_{1}$ (модуль вектора при этом, естественно, не изменяется), то фотон получил приращение импульса $\Delta \vec{p}$. Равный ему, но противоположный по направлению импульс $\vec{p}_{л}$ получит линза. Таким образом, в целом линза получит импульс, направленный в сторону источника - линза притягивается к источнику!
Для расчета силы, действующей на линзу необходимо рассчитать суммарное изменение импульса света при его прохождении через линзу. Рассмотрим сферическую поверхность с центром на источнике света, с радиусом равным фокусному расстоянию. Через линзу пройдут те фотоны, которые летят в пределах телесного угла, опирающегося на линзу. После преломления все эти фотоны будут двигаться вдоль оптической оси, поэтому импульс переносимый этими фотонами в единицу времени можно подсчитать следующим образом. Поток энергии, деленный на скорость света, равен потоку импульса (то есть, импульсу, переносимому в единицу времени). Плотность этого потока (поток через единичную площадь) на выбранной нами сфере определяется выражением
$G = \frac{I}{4 \pi F^{2}c}$. (2)
Тогда поток импульса фотонов, прошедших через линзу, равен
$P_{1} = GS_{ \omega} = \frac{I}{4 \pi F^{2}c} 2\pi F (F - \sqrt{F^{2} - r^{2}} = \frac{I}{2c} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{r^{2}}{F^{2}}} \right )$, (3)
здесь $S_{ \Sigma}$ - площадь поверхности сферического сегмента, опирающегося на линзу.
Для подсчета импульса этих фотонов до преломления в линзе необходимо просуммировать проекции импульсов на направление оптической оси, так как из осевой симметрии следует, что суммарный импульс будет направлен вдоль оси. Разобьем поверхность сферы на малые участки $\Delta S$, запишем выражение для проекции потока импульса через этот участок
$\Delta P_{0z} = G \Delta S \cos \theta$, (4)
и обратим внимание, что $\Delta S \cos \theta = \Delta S_{0}$ есть площадь проекции выделенного участка на плоскость линзы. Поэтому сумма величин типа (4) будет равна произведению плотности потока импульса на площадь линзы
$P_{0} = G \pi r^{2} = \frac{I}{2c} \frac{r^{2}}{2F^{2}}$. (5)
Таким образом, сила давления / равна разности потоков импульсов (3) и (5)
$f = \frac{I}{2c} \left ( 1 \sqrt{ 1 - \frac{r^{2}}{F^{2}} } - \frac{r^{2}}{2F^{2}} \right )$. (6)
