Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2685
2017-04-02 
Воздушный шар-зонд наполняют воздухом, нагретым до температуры $t_{0} = 90^{ \circ} С$. Конструкция шара такова, что его объем $V = 130 м^{3}$ все время остается постоянным, а давление воздуха в шаре равно атмосферному. Суммарная масса оболочки и груза равна $m = 6,0 кг$. Шар запускают с поверхности земли в безветренную погоду: температура воздуха $t_{a} = 15^{ \circ} С$, атмосферное давление $p_{a} = 1,0 \cdot 10^{5} Па$. Молярная масса воздуха $M = 29 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}$. Сразу после запуска скорость шара стала равной $v_{0} = 0,35 \frac{м}{с}$. Температура воздуха $t$ внутри шара уменьшается со временем $\tau$ по закону, представленному на графике. Определите по этим данным максимальную высоту подъема шара. Считайте, что температура и давление атмосферы от высоты не зависят. Сила сопротивления воздуха, действующая на шар, пропорциональна его скорости.
Решение:
При подъеме шара, на него действуют: сила тяжести $m \vec{g}$, подъемная сила Архимеда $\vec{F}_{A}$, сила сопротивления $\vec{F}_{сопр} = - \beta \vec{v}$, пропорциональная скорости подъема. Следовательно, уравнение второго закона Ньютона для шара будет иметь вид
$ma = F_{A} - mg - \beta v$. (1)
Так как шар движется в воздухе достаточно медленно, то можно считать, что в любой момент времени сила сопротивления уравновешивает разность сил Архимеда и тяжести. Иными словами, можно пренебречь инерционными эффектами и положить $ma = 0$. Тогда из уравнения (1) получим выражение для скорости подъема
$\beta v = F_{A} - mg$. (2)
Подъемная сила вычисляется по формуле
$F_{A} = Vg( \rho_{0} - \rho)$, (3)
где $\rho_{0}, \rho$ - плотности холодного (наружного) и теплого (внутри шара) воздуха. Эти плотности можно выразить из уравнения состояния идеального газа $PV = \frac{m}{M} RT$:
$\rho = \frac{m}{M} = \frac{PM}{RT}$. (4)
Используя формулы (3)-(4), получаем выражение для скорости подъема
$\beta v = Vg \frac{PM}{R} \left ( \frac{1}{T_{a}} - \frac{1}{T} \right ) - mg$. (5)
Неизвестный коэффициент $\beta$ можно получить из аналогичной формулы для начальной скорости. Таким образом, окончательное выражение для скорости подъема принимает «несколько угрожающий» вид
$v = \frac{Vg \frac{PM}{R} \left ( \frac{1}{T_{a}} - \frac{1}{T} \right ) - mg}{Vg \frac{PM}{R} \left ( \frac{1}{T_{a}} - \frac{1}{T_{0}} \right ) - mg}$. (6)
По этой формуле с помощью приведенного в условии графика зависимости температуры от времени можно построить зависимость скорости подъема от времени. Для ускорения последующих расчетов в формуле (6) необходимо провести промежуточные вычисления (приведя все величины в систему СИ) и привести ее к виду, пригодному для расчетов
$v = 2,305 - \frac{690}{273 + t^{ \circ}}$, (7)
где $t^{ \circ}$ - температура внутри шара, измеренная по шкале Цельсия. Результаты расчетов приведены в таблице и на графике.
Таким образом, мы получили, что скорость подъема убывает по линейному закону. Время подъема составляет примерно $\tau \approx 18 мин$. Следовательно, высота подъема $H = \frac{v_{0} \tau}{2} \approx 190 м$.
Воздушный шар-зонд наполняют воздухом, нагретым до температуры $t_{0} = 90^{ \circ} С$. Конструкция шара такова, что его объем $V = 130 м^{3}$ все время остается постоянным, а давление воздуха в шаре равно атмосферному. Суммарная масса оболочки и груза равна $m = 6,0 кг$. Шар запускают с поверхности земли в безветренную погоду: температура воздуха $t_{a} = 15^{ \circ} С$, атмосферное давление $p_{a} = 1,0 \cdot 10^{5} Па$. Молярная масса воздуха $M = 29 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}$. Сразу после запуска скорость шара стала равной $v_{0} = 0,35 \frac{м}{с}$. Температура воздуха $t$ внутри шара уменьшается со временем $\tau$ по закону, представленному на графике. Определите по этим данным максимальную высоту подъема шара. Считайте, что температура и давление атмосферы от высоты не зависят. Сила сопротивления воздуха, действующая на шар, пропорциональна его скорости.
Решение:
При подъеме шара, на него действуют: сила тяжести $m \vec{g}$, подъемная сила Архимеда $\vec{F}_{A}$, сила сопротивления $\vec{F}_{сопр} = - \beta \vec{v}$, пропорциональная скорости подъема. Следовательно, уравнение второго закона Ньютона для шара будет иметь вид
$ma = F_{A} - mg - \beta v$. (1)
Так как шар движется в воздухе достаточно медленно, то можно считать, что в любой момент времени сила сопротивления уравновешивает разность сил Архимеда и тяжести. Иными словами, можно пренебречь инерционными эффектами и положить $ma = 0$. Тогда из уравнения (1) получим выражение для скорости подъема
$\beta v = F_{A} - mg$. (2)
Подъемная сила вычисляется по формуле
$F_{A} = Vg( \rho_{0} - \rho)$, (3)
где $\rho_{0}, \rho$ - плотности холодного (наружного) и теплого (внутри шара) воздуха. Эти плотности можно выразить из уравнения состояния идеального газа $PV = \frac{m}{M} RT$:
$\rho = \frac{m}{M} = \frac{PM}{RT}$. (4)
Используя формулы (3)-(4), получаем выражение для скорости подъема
$\beta v = Vg \frac{PM}{R} \left ( \frac{1}{T_{a}} - \frac{1}{T} \right ) - mg$. (5)
Неизвестный коэффициент $\beta$ можно получить из аналогичной формулы для начальной скорости. Таким образом, окончательное выражение для скорости подъема принимает «несколько угрожающий» вид
$v = \frac{Vg \frac{PM}{R} \left ( \frac{1}{T_{a}} - \frac{1}{T} \right ) - mg}{Vg \frac{PM}{R} \left ( \frac{1}{T_{a}} - \frac{1}{T_{0}} \right ) - mg}$. (6)
По этой формуле с помощью приведенного в условии графика зависимости температуры от времени можно построить зависимость скорости подъема от времени. Для ускорения последующих расчетов в формуле (6) необходимо провести промежуточные вычисления (приведя все величины в систему СИ) и привести ее к виду, пригодному для расчетов
$v = 2,305 - \frac{690}{273 + t^{ \circ}}$, (7)
где $t^{ \circ}$ - температура внутри шара, измеренная по шкале Цельсия. Результаты расчетов приведены в таблице и на графике.
Таким образом, мы получили, что скорость подъема убывает по линейному закону. Время подъема составляет примерно $\tau \approx 18 мин$. Следовательно, высота подъема $H = \frac{v_{0} \tau}{2} \approx 190 м$.
