Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2683
2017-04-02 
В вертикально расположенном диске проделаны прорези, начинающиеся в верхней точке диска А, по которым могу скользить без трения небольшие бруски. Покажите, что времена соскальзывания брусков (без начальной скорости) по всем желобкам одинаковы.
Точка А находится над наклонной плоскостью, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Из точки А необходимо опустить прямой желоб на наклонную плоскость. Под каким углом $\beta$ к вертикали необходимо опустить этот желоб, чтобы время соскальзывания бруска на плоскость было минимальным?
Решение:
Рассмотрим скольжение тела по произвольной прорези, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. Ускорение тела, движущегося по наклонной плоскости без трения, определяется известной формулой
$a = g \sin \alpha$. (1)
Длину этой прорези также не трудно найти: отмеченные на рисунке углы равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, длина прорези равна $S = 2R \sin \alpha$. Используя закон равноускоренного движения $S = \frac{at^{2}}{2}$, найдем время движения
$t = \sqrt{ \frac{2S}{a}} = \sqrt{ \frac{4R}{g}}$, (2)
которое не зависит от угла $\alpha$, следовательно, одинаково для всех прорезей.
Воспользуемся полученным результатом для решения второй части задачи. Представим, что из точки А одновременно по разным наклонным плоскостям начали скользить малые тела. Согласно ранее доказанному в любой момент времени они будут находиться на одной окружности, радиус которой постоянно растет. Тогда первым достигнет наклонной плоскости тот брусок, который находится в точке касания окружности, касательной к плоскости. С помощью рисунка легко доказать, что искомый угол желоба с вертикалью равен половине угла $\alpha$, то есть $\beta = \frac{ \alpha}{2}$.
В вертикально расположенном диске проделаны прорези, начинающиеся в верхней точке диска А, по которым могу скользить без трения небольшие бруски. Покажите, что времена соскальзывания брусков (без начальной скорости) по всем желобкам одинаковы.
Точка А находится над наклонной плоскостью, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Из точки А необходимо опустить прямой желоб на наклонную плоскость. Под каким углом $\beta$ к вертикали необходимо опустить этот желоб, чтобы время соскальзывания бруска на плоскость было минимальным?
Решение:
Рассмотрим скольжение тела по произвольной прорези, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. Ускорение тела, движущегося по наклонной плоскости без трения, определяется известной формулой
$a = g \sin \alpha$. (1)
Длину этой прорези также не трудно найти: отмеченные на рисунке углы равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, длина прорези равна $S = 2R \sin \alpha$. Используя закон равноускоренного движения $S = \frac{at^{2}}{2}$, найдем время движения
$t = \sqrt{ \frac{2S}{a}} = \sqrt{ \frac{4R}{g}}$, (2)
которое не зависит от угла $\alpha$, следовательно, одинаково для всех прорезей.
Воспользуемся полученным результатом для решения второй части задачи. Представим, что из точки А одновременно по разным наклонным плоскостям начали скользить малые тела. Согласно ранее доказанному в любой момент времени они будут находиться на одной окружности, радиус которой постоянно растет. Тогда первым достигнет наклонной плоскости тот брусок, который находится в точке касания окружности, касательной к плоскости. С помощью рисунка легко доказать, что искомый угол желоба с вертикалью равен половине угла $\alpha$, то есть $\beta = \frac{ \alpha}{2}$.
