Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2681
2017-04-02 
Пружинная пушка представляет собой тонкий гладкий стержень, на который насажен цилиндрический «снаряд» массой $m$ и упругая пружина. Пушка установлена под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту на тележке массой $M$, которая может катиться без трения по длинным горизонтальным рельсам. Если тележку закрепить, то пушка выбрасывает снаряд на расстояние $S_{0} = 3,0 м$. Найдите расстояние между снарядом и тележкой в момент падения снаряда, если выстрел произведен с незакрепленной тележки. Отношение $\frac{m}{M} = \eta = 0,50$. Высотой тележки и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
При неподвижной тележке дальность полета рассчитывается по известной формуле
$S_{0} = \frac{2v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha \cos \alpha = \frac{v_{0}^{2}}{g}$. (1)
где $v_{0}$ - начальная скорость снаряда.
При выстреле с подвижной тележки будет сохраняться механическая энергия (причем она будет равна энергии снаряда при стрельбе с неподвижной тележки) и проекция импульса на горизонтальное направление. Кроме того, скорость снаряда относительно тележки (а не относительно земли) будет направлена под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту.
Разложим вектор скорости снаряда (относительно земли) на горизонтальную $v_{x}$ и вертикальную $v_{y}$ составляющие, скорость тележки обозначим $u$. Тогда описанные условия примут вид
$\frac{Mu^{2}}{2} + \frac{mv_{x}^{2}}{2} + \frac{mv_{y}^{2}}{2} = \frac{mv_{0}^{2}}{2}$ (2),
$Mu = mv_{x}$, (3)
$v_{y} = u + v_{x}$. (4)
Время полета можно найти по формуле
$t = \frac{2v_{y}}{g}$, (5)
тогда расстояние между снарядом и тележкой следует рассчитать по формуле
$S = (v_{x} + u)t = \frac{2v_{y}^{2}}{g}$, (6)
при выводе учтены соотношения (3) и (5). Теперь из соотношений (2)-(4) необходимо выразить компоненту скорости $v_{y}$
$v_{y}^{2} = \frac{1 + \eta}{2 + \eta} v_{0}^{2}$. (7)
Подставляя выражения (7) и (1) в формулу (6), получаем окончательное выражение
$S = 2 \frac{1 + \eta}{2 + \eta} S_{0} \approx 3,6 м$. (8)
Пружинная пушка представляет собой тонкий гладкий стержень, на который насажен цилиндрический «снаряд» массой $m$ и упругая пружина. Пушка установлена под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту на тележке массой $M$, которая может катиться без трения по длинным горизонтальным рельсам. Если тележку закрепить, то пушка выбрасывает снаряд на расстояние $S_{0} = 3,0 м$. Найдите расстояние между снарядом и тележкой в момент падения снаряда, если выстрел произведен с незакрепленной тележки. Отношение $\frac{m}{M} = \eta = 0,50$. Высотой тележки и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
При неподвижной тележке дальность полета рассчитывается по известной формуле
$S_{0} = \frac{2v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha \cos \alpha = \frac{v_{0}^{2}}{g}$. (1)
где $v_{0}$ - начальная скорость снаряда.
При выстреле с подвижной тележки будет сохраняться механическая энергия (причем она будет равна энергии снаряда при стрельбе с неподвижной тележки) и проекция импульса на горизонтальное направление. Кроме того, скорость снаряда относительно тележки (а не относительно земли) будет направлена под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту.
Разложим вектор скорости снаряда (относительно земли) на горизонтальную $v_{x}$ и вертикальную $v_{y}$ составляющие, скорость тележки обозначим $u$. Тогда описанные условия примут вид
$\frac{Mu^{2}}{2} + \frac{mv_{x}^{2}}{2} + \frac{mv_{y}^{2}}{2} = \frac{mv_{0}^{2}}{2}$ (2),
$Mu = mv_{x}$, (3)
$v_{y} = u + v_{x}$. (4)
Время полета можно найти по формуле
$t = \frac{2v_{y}}{g}$, (5)
тогда расстояние между снарядом и тележкой следует рассчитать по формуле
$S = (v_{x} + u)t = \frac{2v_{y}^{2}}{g}$, (6)
при выводе учтены соотношения (3) и (5). Теперь из соотношений (2)-(4) необходимо выразить компоненту скорости $v_{y}$
$v_{y}^{2} = \frac{1 + \eta}{2 + \eta} v_{0}^{2}$. (7)
Подставляя выражения (7) и (1) в формулу (6), получаем окончательное выражение
$S = 2 \frac{1 + \eta}{2 + \eta} S_{0} \approx 3,6 м$. (8)
