2014-05-31
В сеть переменного тока с частотой $f = 50 Гц$ и действующим значением напряжения $U = 220 В$ включены последовательно активное сопротивление $R = 100 Ом$ и индуктивность $L = 1 Гн$. Какой емкости $C$ надо включить конденсатор вместо индуктивности, чтобы мощность джоулева тепла в цепи не изменилась? Чему равна эта мощность?
Решение:
По закону Ома для участка цепи переменного тока с последовательно включенными $R, L$ и $C$ действующее значением силы тока равно
$I= \frac{U}{\sqrt{R^{2}+ \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^{2}}}$.
Здесь $\omega = 2 \pi f$ - круговая частота. По закону Джоуля—Ленца и активном сопротивлении $R$ выделяется в единицу времени количество теплоты (мощность джоулева тепла)
$N= I^{2}R=\frac{U^{2}R}{ R^{2}+ \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^{2}}$.
Чтобы при замене $L$ на $C$ эта величина не менялась, необходимо выполнение равенства
$\omega L= \frac{1}{\omega C}$.
Отсюда
$C= \frac{1}{\omega^{2}L}=\frac{1}{4 \pi^{2} f^{2} L^{2}} \approx 10^{-5} Ф$.
Искомая мощность равна
$N=\frac{U^{2}R}{R^{2}+4 \pi^{2} f^{2} L^{2}}= \frac{U^{2}R}{R^{2} + \frac{1}{4 \pi^{2} f^{2} C^{2}}} \approx 45 Вт$.