Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2677
2017-04-02 
В большую кастрюлю налили $V_{0} = 2,0 л$ холодной воды при температуре $t_{0} = 15^{ \circ} C$ и поставили на включенную электроплиту. За время $\tau_{0} = 5,0 мин$ температура воды достигла $\tau_{1} = 45^{ \circ} C$. После этого в кастрюлю стали медленно доливать холодную воду (при температуре $t_{0} = 15^{ \circ} C$) с постоянной скоростью $v = 100 \frac{см^{3}}{мин}$, постоянно ее перемешивая в кастрюле. Постройте примерный график зависимости температуры воды в кастрюле от времени. При какой скорости наливания холодной воды $v_{1}$ температура воды будет оставаться постоянной во время наливания? Потерями теплоты и теплоемкостью кастрюли пренебречь.
Решение:
Найдем тепловую мощность $P$ плиты из уравнения теплового баланса
$P \tau_{0} = c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0})$, (1)
$P = \frac{c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0})}{ \tau_{0}}$, (2)
где $\rho$ и $c$ - плотность и удельная теплоемкость воды, соответственно. На этом этапе нагревания температура будет возрастать прямо пропорционально времени. Через время $\tau$ после начала подливания, в кастрюле будет находиться
$V = V_{0} + v \tau$ (3)
литров воды. Всего за время нагревания вода получит от нагревателя количество теплоты, которое определяется формулой
$Q = P( \tau_{0} + \tau)$. (4)
Уравнение теплового баланса (за все время нагревания) будет иметь вид
$P( \tau_{0} + \tau) = c \rho (V_{0} + v \tau) (t - t_{0})$, (5)
где $t$ - температура воды в момент времени $\tau$. Подставляя выражение (2) для мощности нагревателя, получаем искомую функцию зависимости температуры от времени
$t = t_{0} + (t_{1} - t_{0} ) \frac{ \left ( 1 + \frac{ \tau}{ \tau_{0}} \right )}{ \left ( 1 + \frac{v \tau}{ V_{0}} \right )}$. (6)
Эта функция является монотонной, стремящейся к предельному значению (при $\tau \gg \tau_{0}$)
$t^{*} = t_{0} + (t_{1} - t_{0}) \frac{V_{0}}{ v \tau_{0}}$, (7)
которое при заданных численных значениях параметров равно $t^{*} = 135^{ \circ}$. Это значение превышает температуру кипения, поэтому увеличение температуры прекратится при достижении температуры кипения $t_{кип} = 100^{ circ}$. Можно найти момент времени, когда начнется кипение, для этого в уравнении (6) необходимо положить $t = t_{кип} = 100^{ \circ}$ и найти соответствующее значение времени $\tau \approx 28 мин$.
График полученной зависимости показан на рисунке. Значение скорости наливания $v_{1}$, при котором температура воды в кастрюле будет оставаться постоянной можно найти из формулы (6), в котором второе слагаемое должно не зависеть от времени $\tau$. Это возможно, только при $\frac{ \tau}{ \tau_0} = \frac{v \tau}{V_{0}}$. То есть, при $v = \frac{V_{0}}{ \tau_{0}} = 0,4 \frac{л}{мин}$.
Заметим, что это же значение можно получить из уравнения теплового баланса $c \rho v_{1} (t_{1} - t_{0}) = P$.
В большую кастрюлю налили $V_{0} = 2,0 л$ холодной воды при температуре $t_{0} = 15^{ \circ} C$ и поставили на включенную электроплиту. За время $\tau_{0} = 5,0 мин$ температура воды достигла $\tau_{1} = 45^{ \circ} C$. После этого в кастрюлю стали медленно доливать холодную воду (при температуре $t_{0} = 15^{ \circ} C$) с постоянной скоростью $v = 100 \frac{см^{3}}{мин}$, постоянно ее перемешивая в кастрюле. Постройте примерный график зависимости температуры воды в кастрюле от времени. При какой скорости наливания холодной воды $v_{1}$ температура воды будет оставаться постоянной во время наливания? Потерями теплоты и теплоемкостью кастрюли пренебречь.
Решение:
Найдем тепловую мощность $P$ плиты из уравнения теплового баланса
$P \tau_{0} = c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0})$, (1)
$P = \frac{c \rho V_{0} (t_{1} - t_{0})}{ \tau_{0}}$, (2)
где $\rho$ и $c$ - плотность и удельная теплоемкость воды, соответственно. На этом этапе нагревания температура будет возрастать прямо пропорционально времени. Через время $\tau$ после начала подливания, в кастрюле будет находиться
$V = V_{0} + v \tau$ (3)
литров воды. Всего за время нагревания вода получит от нагревателя количество теплоты, которое определяется формулой
$Q = P( \tau_{0} + \tau)$. (4)
Уравнение теплового баланса (за все время нагревания) будет иметь вид
$P( \tau_{0} + \tau) = c \rho (V_{0} + v \tau) (t - t_{0})$, (5)
где $t$ - температура воды в момент времени $\tau$. Подставляя выражение (2) для мощности нагревателя, получаем искомую функцию зависимости температуры от времени
$t = t_{0} + (t_{1} - t_{0} ) \frac{ \left ( 1 + \frac{ \tau}{ \tau_{0}} \right )}{ \left ( 1 + \frac{v \tau}{ V_{0}} \right )}$. (6)
Эта функция является монотонной, стремящейся к предельному значению (при $\tau \gg \tau_{0}$)
$t^{*} = t_{0} + (t_{1} - t_{0}) \frac{V_{0}}{ v \tau_{0}}$, (7)
которое при заданных численных значениях параметров равно $t^{*} = 135^{ \circ}$. Это значение превышает температуру кипения, поэтому увеличение температуры прекратится при достижении температуры кипения $t_{кип} = 100^{ circ}$. Можно найти момент времени, когда начнется кипение, для этого в уравнении (6) необходимо положить $t = t_{кип} = 100^{ \circ}$ и найти соответствующее значение времени $\tau \approx 28 мин$.
График полученной зависимости показан на рисунке. Значение скорости наливания $v_{1}$, при котором температура воды в кастрюле будет оставаться постоянной можно найти из формулы (6), в котором второе слагаемое должно не зависеть от времени $\tau$. Это возможно, только при $\frac{ \tau}{ \tau_0} = \frac{v \tau}{V_{0}}$. То есть, при $v = \frac{V_{0}}{ \tau_{0}} = 0,4 \frac{л}{мин}$.
Заметим, что это же значение можно получить из уравнения теплового баланса $c \rho v_{1} (t_{1} - t_{0}) = P$.
