Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2676
2017-04-02 
Внутри сочлененной трубы, состоящей из двух цилиндрических коаксиальных труб радиусов $r_{0}$ и $r_{1}$, находятся два плотно пригнанных поршня, которые могут двигаться вдоль труб без трения. Пространство между поршнями заполнено несжимаемой жидкостью плотностью $\rho$. С внешних сторон от поршней находится газ, давления которого поддерживаются постоянными и равными с одной стороны $P_{0}$, а с другой $P_{1}$. Найдите постоянные скорости установившихся движений поршней. Вязкостью жидкости (внутренним трением) пренебречь.
Решение:
Пусть один поршень, двигаясь с постоянной скоростью $V_{0}$, сместился на малое расстояние $x_{0}$, тогда второй, двигаясь со скоростью $V_{1}$, сместился на расстояние $x_{1}$, причем из условия несжимаемости жидкости следует
$x_{0}S_{0} = x_{1}S_{1}$, (1)
$V_{0}S_{0} = V_{1}S_{1}$, (2)
где $S_{0},S_{1}$ - площади поршней. Газ, находящийся слева, при этом совершит работу $P_{0}S_{0}x_{0}$, которая расходуется на работу второго поршня $P_{1}S_{1}x_{1}$ и увеличение кинетической энергии жидкости. Действительно, часть жидкости объемом $S_{0}x_{0}$ увеличила скорость от $V_{0}$ до $V_{1}$. Таким образом, уравнение баланса энергий имеет вид
$P_{0}S_{0}x_{0} = P_{1}S_{1}x_{1} + \frac{1}{2} \rho S_{0} x_{0} (V_{1}^{2} - V_{0}^{2})$. (3)
Решая систему уравнений (1)-(3), получаем
$V_{0} = \sqrt{ \frac{2(P_{0} - P_{1})}{ \left ( \frac{r_{0}^{4}}{r_{1}^{4}} - 1 \right )}}; V_{1} = \sqrt{ \frac{2(P_{0} - P_{1})}{ \left ( 1 - \frac{r_{1}^{4}}{r_{0}^{4}} \right )}}$; (4)
при выводе учтено, что $\frac{S_{0}^{2}}{S_{1}^{2}} = \frac{r_{0}^{4}}{r_{1}^{4}}$.
Заметим, что соотношение (3) является фактически уравнением Бернулли.
Внутри сочлененной трубы, состоящей из двух цилиндрических коаксиальных труб радиусов $r_{0}$ и $r_{1}$, находятся два плотно пригнанных поршня, которые могут двигаться вдоль труб без трения. Пространство между поршнями заполнено несжимаемой жидкостью плотностью $\rho$. С внешних сторон от поршней находится газ, давления которого поддерживаются постоянными и равными с одной стороны $P_{0}$, а с другой $P_{1}$. Найдите постоянные скорости установившихся движений поршней. Вязкостью жидкости (внутренним трением) пренебречь.
Решение:
Пусть один поршень, двигаясь с постоянной скоростью $V_{0}$, сместился на малое расстояние $x_{0}$, тогда второй, двигаясь со скоростью $V_{1}$, сместился на расстояние $x_{1}$, причем из условия несжимаемости жидкости следует
$x_{0}S_{0} = x_{1}S_{1}$, (1)
$V_{0}S_{0} = V_{1}S_{1}$, (2)
где $S_{0},S_{1}$ - площади поршней. Газ, находящийся слева, при этом совершит работу $P_{0}S_{0}x_{0}$, которая расходуется на работу второго поршня $P_{1}S_{1}x_{1}$ и увеличение кинетической энергии жидкости. Действительно, часть жидкости объемом $S_{0}x_{0}$ увеличила скорость от $V_{0}$ до $V_{1}$. Таким образом, уравнение баланса энергий имеет вид
$P_{0}S_{0}x_{0} = P_{1}S_{1}x_{1} + \frac{1}{2} \rho S_{0} x_{0} (V_{1}^{2} - V_{0}^{2})$. (3)
Решая систему уравнений (1)-(3), получаем
$V_{0} = \sqrt{ \frac{2(P_{0} - P_{1})}{ \left ( \frac{r_{0}^{4}}{r_{1}^{4}} - 1 \right )}}; V_{1} = \sqrt{ \frac{2(P_{0} - P_{1})}{ \left ( 1 - \frac{r_{1}^{4}}{r_{0}^{4}} \right )}}$; (4)
при выводе учтено, что $\frac{S_{0}^{2}}{S_{1}^{2}} = \frac{r_{0}^{4}}{r_{1}^{4}}$.
Заметим, что соотношение (3) является фактически уравнением Бернулли.
