Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2675
2017-04-02 
Стрелу гарпуна массы $m = 1,5 кг$, к которой привязана гладкая гибкая нить, бросают вертикально вверх с начальной скоростью $v_{0} = 15 м/с$. Масса единицы длины нити $\lambda = 20 г/м$. На какую высоту поднимется стрела, если длина нити равна а) $l = 5,0 м$; б) $l = 15 м$? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Предположим, что высота подъема стрелы меньше, чем длина привязанной нити. Тогда закон сохранения механической энергии будет иметь вид
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + m_{1}g \frac{h}{2}$. (1)
где $m_{1} = \lambda h$ - масса поднятой веревки, $\frac{h}{2}$ - высота, на которую поднялся центр масс веревки. Таким образом, получаем уравнение для определения высоты подъема
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + \lambda g \frac{h^{2}}{2}$. (2)
Корни этого уравнения определяются формулой
$h_{1,2} = = \frac{m}{2} \pm \sqrt{ \left ( \frac{m}{ \lambda} \right )^{2} + \frac{mv_{0}^{2}}{ \lambda g}}$. (3)
Отрицательный корень физического смысла не имеет, поэтому решение задачи имеет вид
$h = \sqrt{ \left ( \frac{m}{ \lambda} \right )^{2} + \frac{mv_{0}^{2}}{ \lambda g}} - \frac{m}{ \lambda} \approx 10,7 м$. (4)
Таким образом при длине нити 15м часть нити останется лежать на земле, следовательно, полученное решение является верным. При длине нити 5м , полученная формула неприменима, так как вся нить поднимется в воздух. В этом случае закон сохранения энергии следует записать в виде
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + \lambda lg \left ( h - \frac{l}{2} \right )$. (5)
Из этого уравнения определим высоту подъема
$h = \frac{mv_{0}^{2} + \lambda gl^{2}}{2g( m + \lambda l)} \approx 10,9 м$. (6)
Высота подъема, как видно оказалась несколько больше, однако, эти два результата не различимы в рамках точности данных, приведенных в условии задачи. Поэтому правильный ответ: в обоих случаях высота подъема стрелы $h \approx 11 м$.
Заметим, что высота подъема стрелы без нити $h_{0} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} \approx 11,5 м$ мало отличается от полученным нами результатов.
Стрелу гарпуна массы $m = 1,5 кг$, к которой привязана гладкая гибкая нить, бросают вертикально вверх с начальной скоростью $v_{0} = 15 м/с$. Масса единицы длины нити $\lambda = 20 г/м$. На какую высоту поднимется стрела, если длина нити равна а) $l = 5,0 м$; б) $l = 15 м$? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Предположим, что высота подъема стрелы меньше, чем длина привязанной нити. Тогда закон сохранения механической энергии будет иметь вид
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + m_{1}g \frac{h}{2}$. (1)
где $m_{1} = \lambda h$ - масса поднятой веревки, $\frac{h}{2}$ - высота, на которую поднялся центр масс веревки. Таким образом, получаем уравнение для определения высоты подъема
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + \lambda g \frac{h^{2}}{2}$. (2)
Корни этого уравнения определяются формулой
$h_{1,2} = = \frac{m}{2} \pm \sqrt{ \left ( \frac{m}{ \lambda} \right )^{2} + \frac{mv_{0}^{2}}{ \lambda g}}$. (3)
Отрицательный корень физического смысла не имеет, поэтому решение задачи имеет вид
$h = \sqrt{ \left ( \frac{m}{ \lambda} \right )^{2} + \frac{mv_{0}^{2}}{ \lambda g}} - \frac{m}{ \lambda} \approx 10,7 м$. (4)
Таким образом при длине нити 15м часть нити останется лежать на земле, следовательно, полученное решение является верным. При длине нити 5м , полученная формула неприменима, так как вся нить поднимется в воздух. В этом случае закон сохранения энергии следует записать в виде
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = mgh + \lambda lg \left ( h - \frac{l}{2} \right )$. (5)
Из этого уравнения определим высоту подъема
$h = \frac{mv_{0}^{2} + \lambda gl^{2}}{2g( m + \lambda l)} \approx 10,9 м$. (6)
Высота подъема, как видно оказалась несколько больше, однако, эти два результата не различимы в рамках точности данных, приведенных в условии задачи. Поэтому правильный ответ: в обоих случаях высота подъема стрелы $h \approx 11 м$.
Заметим, что высота подъема стрелы без нити $h_{0} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} \approx 11,5 м$ мало отличается от полученным нами результатов.
