Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2674
2017-04-02 
Для изготовления тонкой линзы пространство между двумя сферическими тонкими поверхностями залили материалом с показателем преломления $n_{0} = 1,69$. В процессе изготовления линзы был допущен технологический брак, из-за чего внутри линзы оказалось множество небольших воздушных пузырьков, касающихся обеих граней линзы, и равномерно распределенных по поверхности линзы. Полученную таким образом двояковогнутую линзу поместили в воду (показатель преломления $n_{1} = 1,33$), и на расстоянии $a = 40 см$ за линзой расположили экран параллельно плоскости линзы. Линзу полностью осветили параллельным пучком света, направленным вдоль главной оптической оси. На экране образовался светлый круг, диаметр которого в два раза больше диаметра линзы. Кроме того, в центре этого светлого круга образовалось небольшое круглое пятно, освещенность которого в $\eta = 3,0$ раза больше освещенности остального круга. Определите суммарную площадь (в процентах к общей площади линзы) пузырьков в линзе. Дифракцией света пренебречь.
Решение:
Так как показатель преломления материала линзы больше, чем показатель преломления воды, то такая линза, помещенная в воду, будет рассеивающей. Множество пузырьков воздуха, вкрапленных в линзу, тоже можно рассматривать как линзу, но с показателем преломления равным 1. В воде такая линза будет собирающей. Таким образом, больший светлый круг образован лучами, преломившимися в основном материале линзы, а более яркий кружок - лучами, преломившимися в пузырьках воздуха.
Рассмотрим ход лучей, преломившихся на основном материале линзы. Крайние лучи этой группы $AB,A^{ \prime}B^{ \prime}$ обрузуют границу освещенной области. Так как, диаметр $d_{0}$ освещенного круга $BB^{ \prime}$ в два раза больше диаметра $d$ линзы $AA^{ \prime}$, фокусное расстояние $F_{0}$ линзы (OF) равно расстоянию a между линзой и экраном (ОD). Как известно, фокусное расстояние линзы определяется по формуле
$\frac{1}{F} = ( n^{ \prime} - 1) \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$, (1)
где $R_{1},R_{2}$ - радиусы кривизны преломляющих поверхностей, $n^{ \prime}$ - относительный показатель преломления линзы (относительно среды). Поэтому отношение фокусных расстояний основной линзы $F_{0}$ и линзы «пузырьковой» $F_{}$, вычисляется по формуле
$\frac{F_{1}}{F_{0}} = \frac{ \frac{n_{0}}{n_{1}} - 1}{ \frac{1}{n_{1}} - 1} = \frac{n_{0} - n_{1}}{1 - n_{1}}$. (2)
Учитывая, что $F_{0} = -a$ (линза рассеивающая!), вычислим фокусное расстояние воздушной линзы $F_{1} = a \frac{n_{0} - n_{1}}{n_{1} - 1} \approx 44 см$. Теперь с помощью рисунка можем выразить диаметр более яркого пятна $CC^{ \prime}$
$d_{1} = d \frac{F_{1} - a}{F_{1}}$. (3)
Обозначим падающий на линзу световой поток $\Phi$, тогда поток света, преломившегося в пузырьках, будет равен $\Phi_{1} = \epsilon \Phi$ (где $\epsilon$ доля площади линзы занимаемой пузырьками); световой поток, преломившийся в основном материале линзы $\Phi_{0} = (1 - \epsilon) \Phi$. Освещенность поверхности пропорциональна световому потоку и обратно пропорциональна освещаемой площади. Поэтому освещенность светлого круга $E_{0} \sim \frac{ \Phi_{0}}{ d_{0}^{2}} \sim \frac{1 - \epsilon}{4d^{2}}$. Освещенность поверхности, создаваемая лучами, преломившимися в пузырьках, $E_{1} \sim \frac{ \Phi_{1}}{d_{1}^{2}} \sim \frac{ \epsilon}{ d^{2}} \left ( \frac{F_{1}}{F_{1} - a} \right )^{2} \approx 120 \frac{ \epsilon}{d^{2}}$. Отношение освещенностей центрального пятна и остального круга, выражается формулой
$\eta = \frac{E_{0} + E_{1}}{E_{0}} = 1 + \frac{E_{1}}{E_{0}} \approx 1 + 480 \frac{ \epsilon}{ 1 - \epsilon}$.
Из этой формулы определяем величину $\epsilon \approx 0,4%$
Для изготовления тонкой линзы пространство между двумя сферическими тонкими поверхностями залили материалом с показателем преломления $n_{0} = 1,69$. В процессе изготовления линзы был допущен технологический брак, из-за чего внутри линзы оказалось множество небольших воздушных пузырьков, касающихся обеих граней линзы, и равномерно распределенных по поверхности линзы. Полученную таким образом двояковогнутую линзу поместили в воду (показатель преломления $n_{1} = 1,33$), и на расстоянии $a = 40 см$ за линзой расположили экран параллельно плоскости линзы. Линзу полностью осветили параллельным пучком света, направленным вдоль главной оптической оси. На экране образовался светлый круг, диаметр которого в два раза больше диаметра линзы. Кроме того, в центре этого светлого круга образовалось небольшое круглое пятно, освещенность которого в $\eta = 3,0$ раза больше освещенности остального круга. Определите суммарную площадь (в процентах к общей площади линзы) пузырьков в линзе. Дифракцией света пренебречь.
Решение:
Так как показатель преломления материала линзы больше, чем показатель преломления воды, то такая линза, помещенная в воду, будет рассеивающей. Множество пузырьков воздуха, вкрапленных в линзу, тоже можно рассматривать как линзу, но с показателем преломления равным 1. В воде такая линза будет собирающей. Таким образом, больший светлый круг образован лучами, преломившимися в основном материале линзы, а более яркий кружок - лучами, преломившимися в пузырьках воздуха.
Рассмотрим ход лучей, преломившихся на основном материале линзы. Крайние лучи этой группы $AB,A^{ \prime}B^{ \prime}$ обрузуют границу освещенной области. Так как, диаметр $d_{0}$ освещенного круга $BB^{ \prime}$ в два раза больше диаметра $d$ линзы $AA^{ \prime}$, фокусное расстояние $F_{0}$ линзы (OF) равно расстоянию a между линзой и экраном (ОD). Как известно, фокусное расстояние линзы определяется по формуле
$\frac{1}{F} = ( n^{ \prime} - 1) \left ( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right )$, (1)
где $R_{1},R_{2}$ - радиусы кривизны преломляющих поверхностей, $n^{ \prime}$ - относительный показатель преломления линзы (относительно среды). Поэтому отношение фокусных расстояний основной линзы $F_{0}$ и линзы «пузырьковой» $F_{}$, вычисляется по формуле
$\frac{F_{1}}{F_{0}} = \frac{ \frac{n_{0}}{n_{1}} - 1}{ \frac{1}{n_{1}} - 1} = \frac{n_{0} - n_{1}}{1 - n_{1}}$. (2)
Учитывая, что $F_{0} = -a$ (линза рассеивающая!), вычислим фокусное расстояние воздушной линзы $F_{1} = a \frac{n_{0} - n_{1}}{n_{1} - 1} \approx 44 см$. Теперь с помощью рисунка можем выразить диаметр более яркого пятна $CC^{ \prime}$
$d_{1} = d \frac{F_{1} - a}{F_{1}}$. (3)
Обозначим падающий на линзу световой поток $\Phi$, тогда поток света, преломившегося в пузырьках, будет равен $\Phi_{1} = \epsilon \Phi$ (где $\epsilon$ доля площади линзы занимаемой пузырьками); световой поток, преломившийся в основном материале линзы $\Phi_{0} = (1 - \epsilon) \Phi$. Освещенность поверхности пропорциональна световому потоку и обратно пропорциональна освещаемой площади. Поэтому освещенность светлого круга $E_{0} \sim \frac{ \Phi_{0}}{ d_{0}^{2}} \sim \frac{1 - \epsilon}{4d^{2}}$. Освещенность поверхности, создаваемая лучами, преломившимися в пузырьках, $E_{1} \sim \frac{ \Phi_{1}}{d_{1}^{2}} \sim \frac{ \epsilon}{ d^{2}} \left ( \frac{F_{1}}{F_{1} - a} \right )^{2} \approx 120 \frac{ \epsilon}{d^{2}}$. Отношение освещенностей центрального пятна и остального круга, выражается формулой
$\eta = \frac{E_{0} + E_{1}}{E_{0}} = 1 + \frac{E_{1}}{E_{0}} \approx 1 + 480 \frac{ \epsilon}{ 1 - \epsilon}$.
Из этой формулы определяем величину $\epsilon \approx 0,4%$
