Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2671
2017-04-02 
В качестве модели упругой пленки можно рассмотреть квадратную сетку, образованную очень маленькими пружинками с жесткостью $k$. Покажите, что в рамках данной модели потенциальная энергия однородно растянутой пленки определяется формулой $U = k( \sqrt{S} - \sqrt{S_{0}})^{2}$, где $S$ - площадь растянутой пленки, $S_{0}$ - ее площадь в недефермированном состоянии. Из пленки изготовили воздушный шарик, радиус которого при недеформированной пленкие равен $r_{0}$. Найдите зависимость давления воздуха внутри шарика от его радиуса. Атмосферным давлением пренебречь.
Решение:
В рамках указанной модели представим пленку как квадратную сетку, состоящую из маленьких пружинок длиной $a$. Пусть кусок пленки имеет форму квадрата со стороной $l_{0} (l_{0} \gg a)$. Тогда этот кусок имеет $N = 2 \frac{l_{0}^{2}}{a^{2}}$ пружинок (площадь одной ячейки равна $a^{2}$, а на каждую ячейку приходится 2 пружинки -каждая пружинка «принадлежит двум соседним ячейкам!). Если растянуть пленку до квадрата со стороной $l$, то длина каждой пружинки увеличится на величину $\Delta x = \frac{l}{l_{0}}a - a = \frac{a}{l_{0}}(l - l_{0})$. Поэтому увеличение потенциальной энергии пленки будет определяться формулой
$U = N \frac{k( \Delta x)^{2}}{2} = k(l - l_{0})^{2} = k( \sqrt{S} - \sqrt{S_{0}})^{2}$, (1)
где $S = l^{2}$ - площадь растянутой пленки, $S_{0} = l_{0}^{2}$ - площадь недеформированной пленки.
Рассмотрим шарик, изготовленный из эластичной пленки. Пусть при недеформированной пленке радиус шарика равен $r_{0}$. Тогда на длину «экватора» приходится $n = \frac{2 \pi r_{0}}{a}$ упругих пружинок, натяжения которых будут уравновешивать силы давления воздуха. При радиусе шарика $r$ суммарная сила давления воздуха на полусферу
$F = P \pi r^{2}$ (2)
будет уравновешена силами упругости
$n k \Delta x = \frac{2 \pi r_{0}}{a} k \left ( \frac{r}{r_{0}} a - a \right ) = 2 \pi k (r - r_{0})$, (3)
где учтено, что удлинение каждой пружинки может быть найдено из подобия $\Delta x = \frac{r}{r_{0}} a - a$.
Приравнивая эти силы, находим равновесное значение давления газа
$P = 2k \frac{r-r_{0}}{r^{2}}$. (4)
Возможен и другой подход к вычислению давления. При увеличении радиуса шара на малую величину $\Delta r$, газ совершит работу
$A = P \Delta V = P 4 \pi r^{2} \Delta r$. (5)
Эта работа пойдет на увеличение потенциальной энергии пленки $\Delta U = U(r + \Delta r) - U(r)$. Воспользуемся формулой (1) для вычисления этой величины
$\Delta U = k \cdot 4 \pi \cdot 2(r - r_{0}) \Delta r$, (6)
при выводе которой учтено, что площадь поверхности сферы $S = 4 \pi r^{2}$. Приравняв выражения (5) и (6), получаем прежний результат (4).
В качестве модели упругой пленки можно рассмотреть квадратную сетку, образованную очень маленькими пружинками с жесткостью $k$. Покажите, что в рамках данной модели потенциальная энергия однородно растянутой пленки определяется формулой $U = k( \sqrt{S} - \sqrt{S_{0}})^{2}$, где $S$ - площадь растянутой пленки, $S_{0}$ - ее площадь в недефермированном состоянии. Из пленки изготовили воздушный шарик, радиус которого при недеформированной пленкие равен $r_{0}$. Найдите зависимость давления воздуха внутри шарика от его радиуса. Атмосферным давлением пренебречь.
Решение:
В рамках указанной модели представим пленку как квадратную сетку, состоящую из маленьких пружинок длиной $a$. Пусть кусок пленки имеет форму квадрата со стороной $l_{0} (l_{0} \gg a)$. Тогда этот кусок имеет $N = 2 \frac{l_{0}^{2}}{a^{2}}$ пружинок (площадь одной ячейки равна $a^{2}$, а на каждую ячейку приходится 2 пружинки -каждая пружинка «принадлежит двум соседним ячейкам!). Если растянуть пленку до квадрата со стороной $l$, то длина каждой пружинки увеличится на величину $\Delta x = \frac{l}{l_{0}}a - a = \frac{a}{l_{0}}(l - l_{0})$. Поэтому увеличение потенциальной энергии пленки будет определяться формулой
$U = N \frac{k( \Delta x)^{2}}{2} = k(l - l_{0})^{2} = k( \sqrt{S} - \sqrt{S_{0}})^{2}$, (1)
где $S = l^{2}$ - площадь растянутой пленки, $S_{0} = l_{0}^{2}$ - площадь недеформированной пленки.
Рассмотрим шарик, изготовленный из эластичной пленки. Пусть при недеформированной пленке радиус шарика равен $r_{0}$. Тогда на длину «экватора» приходится $n = \frac{2 \pi r_{0}}{a}$ упругих пружинок, натяжения которых будут уравновешивать силы давления воздуха. При радиусе шарика $r$ суммарная сила давления воздуха на полусферу
$F = P \pi r^{2}$ (2)
будет уравновешена силами упругости
$n k \Delta x = \frac{2 \pi r_{0}}{a} k \left ( \frac{r}{r_{0}} a - a \right ) = 2 \pi k (r - r_{0})$, (3)
где учтено, что удлинение каждой пружинки может быть найдено из подобия $\Delta x = \frac{r}{r_{0}} a - a$.
Приравнивая эти силы, находим равновесное значение давления газа
$P = 2k \frac{r-r_{0}}{r^{2}}$. (4)
Возможен и другой подход к вычислению давления. При увеличении радиуса шара на малую величину $\Delta r$, газ совершит работу
$A = P \Delta V = P 4 \pi r^{2} \Delta r$. (5)
Эта работа пойдет на увеличение потенциальной энергии пленки $\Delta U = U(r + \Delta r) - U(r)$. Воспользуемся формулой (1) для вычисления этой величины
$\Delta U = k \cdot 4 \pi \cdot 2(r - r_{0}) \Delta r$, (6)
при выводе которой учтено, что площадь поверхности сферы $S = 4 \pi r^{2}$. Приравняв выражения (5) и (6), получаем прежний результат (4).
