Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2670
2017-04-02 
Два небольших пластилиновых шарика привязаны нитями длиной $a = 20 см$ к точке A, расположенной на горизонтальной поверхности диска на расстоянии $a$ от его центра O. Шарики расположили так, что одна нить образует угол $\alpha_{1} = 45^{ \circ}$ с отрезком OA, а вторая - угол $\alpha_{2} = 90^{ \circ}$. Диск начинают медленно раскручивать вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Постройте примерный график зависимости угла между нитями от угловой скорости вращения диска, укажите его характерные точки. Коэффициент трения шариков о поверхность диска $\mu = 0,40$.
Решение:
Задачу удобно решать во вращающейся неинерциальной системе отсчета, связанной с центром диска. В этой системе необходимо учитывать центробежную силу инерции $m \omega^{2} r$, направленную радиально от оси вращения. (Заметим, что, в принципе, можно решать и в инерциальной системе отсчета.)
При раскручивании диска действие центробежной силы приведет к тому, что нити, удерживающие шарики, будут все время натянуты. Следовательно, они будут двигаться по дугам окружностей вокруг точки А, а силы трения будут направлены перпендикулярно нитям.
Пусть угловая скорость вращения диска равна $\omega$. Определим области положения равновесия шариков. В проекции на направление перпендикулярное нити условие равновесия можно записать в виде (см. рисунок, сила натяжения нити за ненадобностью не показана)
$F_{тр} = m \omega^{2} r \sin \alpha$. (1)
Учитывая, что треугольник ОАС равнобедренный, расстояние до центра можно выразить в простом виде $r = 2a \cos \alpha$, тогда уравнение (1) преобразуется к виду
$F_{тр} = m \omega^{2} r \sin \alpha = m \omega^{2} \cdot 2 a \cos \alpha \sin \alpha = ma \omega^{2} \sin \phi$. (2)
Сила трения покоя удовлетворяет условию $F_{тр} \leq \mu mg$. Поэтому условие равновесия щарика при заданной угловой скорости вращения имеет вид
$ma \omega^{2} \sin \phi \leq \mu mg$, (3)
или
$\sin \phi \leq \frac{ \mu g}{ a \omega^{2}}$. (4)
При $\omega \leq \omega_{0} = \sqrt{ \frac{ \mu g}{a}} \approx 4,4 с^{-1}$ в любом положении на рассматриваемой окружности шарик будет находится в равновесии. При дальнейшем увеличении угловой скорости область равновесия будет сужаться (на рис. заштрихована). Таким образом, когда угловая скорость достигнет величины $\omega_{0}$ первый шарик сдвинется с места и с увеличением скорости вращения будет смещаться вслед за границей области устойчивости. Когда угловая скорость достигнет величины $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{ \mu g}{a \sin \phi_{0}}} \approx 6,3 с^{-1}$, 6,3c 1 , начнет движение второй шарик, а первый в это время будет находится в точке B. Сразу после начала движения второй шарик попадает в область отсутствия равновесия и, следовательно, также устремится к точке B, где догонит первый шарик. Дальше они будут двигаться вместе. Таким образом, угол между нитями подчиняется следующим закономерностям
$\beta = \begin{cases} \frac{ \pi}{4}, & при ~ 0 \leq \omega \leq \omega_{0}; \\ \frac{3 \pi}{4} - arcsin \frac{ \mu g}{a \omega^{2}}, & при ~ \omega_{0} \leq \omega \leq \omega_{1}; \\ 0, & при ~ \omega > \omega_{1} \end{cases}$
Два небольших пластилиновых шарика привязаны нитями длиной $a = 20 см$ к точке A, расположенной на горизонтальной поверхности диска на расстоянии $a$ от его центра O. Шарики расположили так, что одна нить образует угол $\alpha_{1} = 45^{ \circ}$ с отрезком OA, а вторая - угол $\alpha_{2} = 90^{ \circ}$. Диск начинают медленно раскручивать вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Постройте примерный график зависимости угла между нитями от угловой скорости вращения диска, укажите его характерные точки. Коэффициент трения шариков о поверхность диска $\mu = 0,40$.
Решение:
Задачу удобно решать во вращающейся неинерциальной системе отсчета, связанной с центром диска. В этой системе необходимо учитывать центробежную силу инерции $m \omega^{2} r$, направленную радиально от оси вращения. (Заметим, что, в принципе, можно решать и в инерциальной системе отсчета.)
При раскручивании диска действие центробежной силы приведет к тому, что нити, удерживающие шарики, будут все время натянуты. Следовательно, они будут двигаться по дугам окружностей вокруг точки А, а силы трения будут направлены перпендикулярно нитям.
Пусть угловая скорость вращения диска равна $\omega$. Определим области положения равновесия шариков. В проекции на направление перпендикулярное нити условие равновесия можно записать в виде (см. рисунок, сила натяжения нити за ненадобностью не показана)
$F_{тр} = m \omega^{2} r \sin \alpha$. (1)
Учитывая, что треугольник ОАС равнобедренный, расстояние до центра можно выразить в простом виде $r = 2a \cos \alpha$, тогда уравнение (1) преобразуется к виду
$F_{тр} = m \omega^{2} r \sin \alpha = m \omega^{2} \cdot 2 a \cos \alpha \sin \alpha = ma \omega^{2} \sin \phi$. (2)
Сила трения покоя удовлетворяет условию $F_{тр} \leq \mu mg$. Поэтому условие равновесия щарика при заданной угловой скорости вращения имеет вид
$ma \omega^{2} \sin \phi \leq \mu mg$, (3)
или
$\sin \phi \leq \frac{ \mu g}{ a \omega^{2}}$. (4)
При $\omega \leq \omega_{0} = \sqrt{ \frac{ \mu g}{a}} \approx 4,4 с^{-1}$ в любом положении на рассматриваемой окружности шарик будет находится в равновесии. При дальнейшем увеличении угловой скорости область равновесия будет сужаться (на рис. заштрихована). Таким образом, когда угловая скорость достигнет величины $\omega_{0}$ первый шарик сдвинется с места и с увеличением скорости вращения будет смещаться вслед за границей области устойчивости. Когда угловая скорость достигнет величины $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{ \mu g}{a \sin \phi_{0}}} \approx 6,3 с^{-1}$, 6,3c 1 , начнет движение второй шарик, а первый в это время будет находится в точке B. Сразу после начала движения второй шарик попадает в область отсутствия равновесия и, следовательно, также устремится к точке B, где догонит первый шарик. Дальше они будут двигаться вместе. Таким образом, угол между нитями подчиняется следующим закономерностям
$\beta = \begin{cases} \frac{ \pi}{4}, & при ~ 0 \leq \omega \leq \omega_{0}; \\ \frac{3 \pi}{4} - arcsin \frac{ \mu g}{a \omega^{2}}, & при ~ \omega_{0} \leq \omega \leq \omega_{1}; \\ 0, & при ~ \omega > \omega_{1} \end{cases}$
