Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 267
2014-05-31 
В кристалле существует выделенная ось $Ox$, вдоль которой проводимость равна $\sigma_{1}$. Это означает, что если вырезать из кристалла прямой провод с осью, параллельной $Ox$, то сопротивление такого провода будет равно $R=l/(S \sigma_{1})$, где $l$ и $s$ - длина и площадь поперечного сечения провода. Проводимость по осям $Oy$ и $Oz$ равна $\sigma_{2}, \sigma_{1} \neq \sigma_{2}$. Чему будет равна проводимость прямого провода вырезанного под углом $\alpha$ к оси $Ox$? Замечание. Если вектор напряженности электрического поля в кристалле направлен по оси $Ox$, то ток течет вдоль этой оси. То же справедливо для осей $Oy$ и $Oz$.
Решение:
Пусть в кристалле существует электрическое поле $E_{x}$ направленное вдоль оси $Ox$. Ток тогда тоже течет вдоль этой оси. Пусть $\Delta S$ - площадь основания, а $\Delta x$ - высота цилиндра. Ток $\Delta I$, протекающий через основания цилиндра, есть $\Delta I = \Delta U /R$, где $\Delta u = E_{x} \Delta x$, a $R= \Delta x / (\sigma_{1}S)$. Отсюда получим для плотности тока $j_{x}= \Delta l / Delta S = \sigma_{1} E_{x}$ (плотность тока - это заряд, протекающий и единицу времени через площадку единичной площади). Аналогично, если электрическое поле $\bar{E_{n}}$ направлено вдоль некоторого $\bar{n}$, перпендикулярного оси $Ox$, то ток течет вдоль этого вектора; соответствующая плотность тока дастся формулой $j_{n}= \sigma_{2}E_{n}$. В общем случае поле $\bar{E}$ в кристалле представим в виде суммы двух векторов:
$\bar{E}=\bar{E_{x}}+\bar{E_{n}}$.
Через единичную площадку, перпендикулярную оси $Ox$, протекает ток с плотностью $j_{x}=\sigma_{1}E_{x}$, а через единичную площадку, перпендикулярную направлению $\bar{n}$, - ток с плотностью $j_{n}=\sigma_{2}E_{n}$.
Результирующее направление тока совпадает, как нетрудно видеть, с направлением вектора $\bar{j}=\bar{j_{x}}+\bar{j_{n}}$, а через единичную площадку, перпендикулярную вектору $\bar{j}$, протекает в единицу времени заряд $j=\sqrt{j^{2}_{x}+ j^{2}_{n}}$. Таким образом, в анизотропном кристалле с проводимостью $\sigma_{1} \neq \sigma_{2}$ направления тока и напряженности поля,
вообще говоря, не совпадают.
Обратимся теперь к решению поставленной задачи. Если к концу длинного тонкого провода приложена разность потенциалов $U$, и по нему течет ток
$I= \sigma_{0} US/l$,
где $\sigma_{0}$ - проводимость, которую надо определить. Ток $I$ направлен вдоль провода; при этом вектор напряженности $\bar{E}$ внутри провода направлен под углом $\alpha$ к его оси. Перпендикулярная к оси составляющая возникает из-за того, что поверхность провода соответствующим образом заряжается. Представим ток в виде $I=j_{0}S$, где $j_{0}$ - плотность тока. Заметим, что $U = lE_{0}$, где $E_{0}$ - составляющая вектора $\bar{E}$ вдоль оси провода. Тогда получим, что $\sigma_{0}=j_{0}/E_{0}$.
Нетрудно видеть, что
$j_{x}=j_{0} \cos \alpha, j_{n}=j_{0} \sin \alpha $. (1)
Вмеете с тем
$j_{x}= \sigma_{1}E_{x}, j_{n}= \sigma_{2}E_{n}$. (2)
Из равенств (1) и (2) получаем
$E_{x}=j_{0} \frac{\cos \alpha}{\sigma_{1}}$. (3)
Учтем, что
$E_{0}=E_{x} \cos \alpha + E_{n} \sin \alpha$, (4)
и подставляя в равенства (4) выражения (3), получаем после простых алгебраических преобразований плотность тока
$j_{0}=\frac{\sigma_{1} \sigma_{2} E_{0}}{( \cos \alpha)^{2} \sigma_{2} + (\sin \alpha)^{2} \sigma_{1}}$
и проводимость
$\sigma_{0}=\frac{\sigma_{1} \sigma_{2}}{( \cos \alpha)^{2} \sigma_{2} + (\sin \alpha)^{2} \sigma_{1}}$
В кристалле существует выделенная ось $Ox$, вдоль которой проводимость равна $\sigma_{1}$. Это означает, что если вырезать из кристалла прямой провод с осью, параллельной $Ox$, то сопротивление такого провода будет равно $R=l/(S \sigma_{1})$, где $l$ и $s$ - длина и площадь поперечного сечения провода. Проводимость по осям $Oy$ и $Oz$ равна $\sigma_{2}, \sigma_{1} \neq \sigma_{2}$. Чему будет равна проводимость прямого провода вырезанного под углом $\alpha$ к оси $Ox$? Замечание. Если вектор напряженности электрического поля в кристалле направлен по оси $Ox$, то ток течет вдоль этой оси. То же справедливо для осей $Oy$ и $Oz$.
Решение:
Пусть в кристалле существует электрическое поле $E_{x}$ направленное вдоль оси $Ox$. Ток тогда тоже течет вдоль этой оси. Пусть $\Delta S$ - площадь основания, а $\Delta x$ - высота цилиндра. Ток $\Delta I$, протекающий через основания цилиндра, есть $\Delta I = \Delta U /R$, где $\Delta u = E_{x} \Delta x$, a $R= \Delta x / (\sigma_{1}S)$. Отсюда получим для плотности тока $j_{x}= \Delta l / Delta S = \sigma_{1} E_{x}$ (плотность тока - это заряд, протекающий и единицу времени через площадку единичной площади). Аналогично, если электрическое поле $\bar{E_{n}}$ направлено вдоль некоторого $\bar{n}$, перпендикулярного оси $Ox$, то ток течет вдоль этого вектора; соответствующая плотность тока дастся формулой $j_{n}= \sigma_{2}E_{n}$. В общем случае поле $\bar{E}$ в кристалле представим в виде суммы двух векторов:
$\bar{E}=\bar{E_{x}}+\bar{E_{n}}$.
Через единичную площадку, перпендикулярную оси $Ox$, протекает ток с плотностью $j_{x}=\sigma_{1}E_{x}$, а через единичную площадку, перпендикулярную направлению $\bar{n}$, - ток с плотностью $j_{n}=\sigma_{2}E_{n}$.
Результирующее направление тока совпадает, как нетрудно видеть, с направлением вектора $\bar{j}=\bar{j_{x}}+\bar{j_{n}}$, а через единичную площадку, перпендикулярную вектору $\bar{j}$, протекает в единицу времени заряд $j=\sqrt{j^{2}_{x}+ j^{2}_{n}}$. Таким образом, в анизотропном кристалле с проводимостью $\sigma_{1} \neq \sigma_{2}$ направления тока и напряженности поля,
вообще говоря, не совпадают.
Обратимся теперь к решению поставленной задачи. Если к концу длинного тонкого провода приложена разность потенциалов $U$, и по нему течет ток
$I= \sigma_{0} US/l$,
где $\sigma_{0}$ - проводимость, которую надо определить. Ток $I$ направлен вдоль провода; при этом вектор напряженности $\bar{E}$ внутри провода направлен под углом $\alpha$ к его оси. Перпендикулярная к оси составляющая возникает из-за того, что поверхность провода соответствующим образом заряжается. Представим ток в виде $I=j_{0}S$, где $j_{0}$ - плотность тока. Заметим, что $U = lE_{0}$, где $E_{0}$ - составляющая вектора $\bar{E}$ вдоль оси провода. Тогда получим, что $\sigma_{0}=j_{0}/E_{0}$.
Нетрудно видеть, что
$j_{x}=j_{0} \cos \alpha, j_{n}=j_{0} \sin \alpha $. (1)
Вмеете с тем
$j_{x}= \sigma_{1}E_{x}, j_{n}= \sigma_{2}E_{n}$. (2)
Из равенств (1) и (2) получаем
$E_{x}=j_{0} \frac{\cos \alpha}{\sigma_{1}}$. (3)
Учтем, что
$E_{0}=E_{x} \cos \alpha + E_{n} \sin \alpha$, (4)
и подставляя в равенства (4) выражения (3), получаем после простых алгебраических преобразований плотность тока
$j_{0}=\frac{\sigma_{1} \sigma_{2} E_{0}}{( \cos \alpha)^{2} \sigma_{2} + (\sin \alpha)^{2} \sigma_{1}}$
и проводимость
$\sigma_{0}=\frac{\sigma_{1} \sigma_{2}}{( \cos \alpha)^{2} \sigma_{2} + (\sin \alpha)^{2} \sigma_{1}}$
