Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2663
2017-04-02 
Автобус проехал первую треть пути со скоростью $v_{1} = 50 км/час$, а вторую - со скоростью $v_{2} = 60 км/час$. С какой скоростью ему нужно проехать оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость движения автобуса на всем маршруте была: а) $v_{ср}^{a} = 70 км/час$; б) $v_{ср}^{b} = 90 км/час$?
Решение:
По определению средней скорости
$v_{ср} = \frac{S}{t}$, (1)
где $S$ - длина всего маршрута, $t$ - время его прохождения. Обозначим скорость автобуса на последней трети пути через $v_{3}$. Тогда
$t = t_{1} + t_{2} + t_{3} = \frac{ \frac{S}{3}}{v_{1}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{2}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{3}}$. (2)
Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем
$v_{ср} = \frac{S}{ \frac{ \frac{S}{3}}{v_{1}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{2}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{3}}}$. (3)
Отсюда можно выразить искомую скорость
$v_{ср} = \frac{70 \cdot 50 \cdot 70}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 70 \cdot (50 + 70)}$. (4)
Подставив в выражение (4) $v_{cр}^{a} = 70 км/ч$, получим ответ для первого пункта задачи
$v_{ср} = \frac{70 \cdot 50 \cdot 50}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 70 \cdot (50 + 70)} \approx 117 км/ч$.
Полученное значение для скорости движения автобуса достаточное большое и, конечно же, противоречит правилам дорожного движения, поэтому реальному водителю лучше не гнаться за указанным средним.
Подставляя в формулу (4) $v_{ср}^{b} = 90 км/ч$, мы обнаруживаем, что
$v_{ср}^{b} = \frac{90 \cdot 50 \cdot 70}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 90 \cdot (50 + 70)} = - 1050 км/ч < 0$.
Результат явно противоречит здравому смыслу, так как автобус должен двигаться только вперед. Проанализируем выражение (4). Знаменатель обращается в нуль при
$v_{ср}^{*} = \frac{3v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}} = 87,5 км/ч$
При этом $v_{3} \rightarrow \infty$, т.е. это предельное значение средней скорости автобуса на всем маршруте, возможное при данных условиях движения. Даже мчась на последнем участке "со скоростью света", водитель не сможет превысить значение $v_{ср}^{*}$. Таким образом, мы показали, что скорости движения автобуса на первых двух участках маршрута ограничивают максимальное значение его средней скорости на всем пути. Поскольку $v_{ср}^{b} > v_{ср}^{*}$, то заданное в условии значение средней скорости не может быть достигнуто ни при каких значениях $v_{3}$. Этот результат полезно знать водителям-лихачам - кратковременные рывки с большой скоростью не помогут достичь высокой средней скорости, если в пути будут хотя бы кратковременные остановки. Лучше двигаться с меньшей скоростью, но без остановок ( кстати, при этом не придется обгонять дважды одни и те же машины).
Автобус проехал первую треть пути со скоростью $v_{1} = 50 км/час$, а вторую - со скоростью $v_{2} = 60 км/час$. С какой скоростью ему нужно проехать оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость движения автобуса на всем маршруте была: а) $v_{ср}^{a} = 70 км/час$; б) $v_{ср}^{b} = 90 км/час$?
Решение:
По определению средней скорости
$v_{ср} = \frac{S}{t}$, (1)
где $S$ - длина всего маршрута, $t$ - время его прохождения. Обозначим скорость автобуса на последней трети пути через $v_{3}$. Тогда
$t = t_{1} + t_{2} + t_{3} = \frac{ \frac{S}{3}}{v_{1}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{2}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{3}}$. (2)
Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем
$v_{ср} = \frac{S}{ \frac{ \frac{S}{3}}{v_{1}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{2}} + \frac{ \frac{S}{3}}{v_{3}}}$. (3)
Отсюда можно выразить искомую скорость
$v_{ср} = \frac{70 \cdot 50 \cdot 70}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 70 \cdot (50 + 70)}$. (4)
Подставив в выражение (4) $v_{cр}^{a} = 70 км/ч$, получим ответ для первого пункта задачи
$v_{ср} = \frac{70 \cdot 50 \cdot 50}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 70 \cdot (50 + 70)} \approx 117 км/ч$.
Полученное значение для скорости движения автобуса достаточное большое и, конечно же, противоречит правилам дорожного движения, поэтому реальному водителю лучше не гнаться за указанным средним.
Подставляя в формулу (4) $v_{ср}^{b} = 90 км/ч$, мы обнаруживаем, что
$v_{ср}^{b} = \frac{90 \cdot 50 \cdot 70}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 90 \cdot (50 + 70)} = - 1050 км/ч < 0$.
Результат явно противоречит здравому смыслу, так как автобус должен двигаться только вперед. Проанализируем выражение (4). Знаменатель обращается в нуль при
$v_{ср}^{*} = \frac{3v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}} = 87,5 км/ч$
При этом $v_{3} \rightarrow \infty$, т.е. это предельное значение средней скорости автобуса на всем маршруте, возможное при данных условиях движения. Даже мчась на последнем участке "со скоростью света", водитель не сможет превысить значение $v_{ср}^{*}$. Таким образом, мы показали, что скорости движения автобуса на первых двух участках маршрута ограничивают максимальное значение его средней скорости на всем пути. Поскольку $v_{ср}^{b} > v_{ср}^{*}$, то заданное в условии значение средней скорости не может быть достигнуто ни при каких значениях $v_{3}$. Этот результат полезно знать водителям-лихачам - кратковременные рывки с большой скоростью не помогут достичь высокой средней скорости, если в пути будут хотя бы кратковременные остановки. Лучше двигаться с меньшей скоростью, но без остановок ( кстати, при этом не придется обгонять дважды одни и те же машины).
