Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2662
2017-04-02 
Для совершения механической работы широко используются тепловые машины. Однако, для получения механической энергии можно использовать и «холод». Рассмотрите двигатель, рабочим телом которого является замерзающая вода, которая находится в цилиндре под поршнем. Воду замораживают с помощью жидкого азота, находящегося при температуре кипения, который подается внутрь цилиндра. Цилиндр «двигателя» изготовлен из стали, его диаметр 40 см, толщина стенок 3,0 мм.
За счет какой энергии может совершать работу такой двигатель?
Какую работу может совершить двигатель при использовании 1,0 кг жидкого азота?
Чему равен коэффициент полезного действия этого двигателя? Теплоемкостью цилиндра, поршня, холодильника, азота можно пренебречь. Лед под поршнем можно считать пластичным веществом.
Удельная теплота парообразования азота - $200 \frac{кДж}{кг}$.
Удельная теплота плавления льда - $330 \frac{кДж}{кг}$.
Плотность воды - $1,0 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$; плотность льда - $0,90 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$; плотность льда - $0,90 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$.
Предел прочности стали, из которой изготовлен цилиндр 550 МПа.
Решение:
Двигатель может совершать работу за счет внутренней энергии окружающей среды и внутренней энергии воды.
Работа льда при его замерзании и расширении определяется по формуле
$A = P \Delta V$, (1)
где $\Delta W = M \left ( \frac{1}{ \rho_{л}} - \frac{1}{ \rho_{в}} \right )$ - увеличение его объема при замерзании, $M$ - масса льда, $\rho_{л}, \rho_{в}$ - плотности льда и воды, соответственно.
Массу льда, которую можно заморозить найдем из уравнения теплового баланса
$M \lambda = mL \Rightarrow M = m \frac{L}{ \lambda}$, (2)
где $m$ - масса имеющегося в нашем распоряжении жидкого азота, $L$ - удельная теплота парообразования азота, $\lambda$ - удельная теплота кристаллизации воды. Максимальное давление льда опреляется прочностью стенок цилиндра двигателя. Выделим на поверхности цилиндра узкую полоску длиной $l$ и видимую с оси цилиндра под малым углом $\alpha$. Сила давления льда
$F = PS_{0} = P l \alpha R$ (3)
уравновешивается силами механического напряжения в стенках цилиндра Т
$T = \sigma_{пр} S_{1} = \sigma_{пр} lh$. (4)
В формулах (3)-(4) обозначено: $R$ - радиус цилиндра, $h$ - толщина его стенок, $\sigma_{пр}$ - предел прочности стали, $S_{0}$ - площадь выделенной полоски, $S_{1}$ - площадь ее боковых торцов. Записывая условие равновесия выделенного элемента в проекции на радиальное направление, получим
$F = 2T \sin \frac{ \alpha}{2}, \Rightarrow F = T \alpha, \Rightarrow PlR \alpha = \sigma_{пр} lh \alpha$. (5)
При выводе последнего соотношения учтена малость угла $\alpha$.
Из уравнения (5) определяем максимально возможное давление льда
$P = \frac{ \sigma_{пр} h}{R}$. (6)
Таким образом, максимальная работа, которую может совершить двигатель, рассчитывается по формуле
$A = \frac{ \sigma_{пр} h}{R} m \frac{L}{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{л}} - \frac{1}{ \rho_{в}} \right ) \approx 280 Дж$.
Коэффициент полезного действия определяется отношением совершенной работы к количеству полученной теплоты, которая в данном случае равна количеству теплоты, которое требуется на плавление льда $(Q = M \lambda)$
$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{ \sigma_{пр} h}{R \alpha} \left ( \frac{1}{ \rho_{л}} - \frac{1}{ \rho_{в}} \right ) \approx 1,4 \cdot 10^{-3}$. (8)
Для совершения механической работы широко используются тепловые машины. Однако, для получения механической энергии можно использовать и «холод». Рассмотрите двигатель, рабочим телом которого является замерзающая вода, которая находится в цилиндре под поршнем. Воду замораживают с помощью жидкого азота, находящегося при температуре кипения, который подается внутрь цилиндра. Цилиндр «двигателя» изготовлен из стали, его диаметр 40 см, толщина стенок 3,0 мм.
За счет какой энергии может совершать работу такой двигатель?
Какую работу может совершить двигатель при использовании 1,0 кг жидкого азота?
Чему равен коэффициент полезного действия этого двигателя? Теплоемкостью цилиндра, поршня, холодильника, азота можно пренебречь. Лед под поршнем можно считать пластичным веществом.
Удельная теплота парообразования азота - $200 \frac{кДж}{кг}$.
Удельная теплота плавления льда - $330 \frac{кДж}{кг}$.
Плотность воды - $1,0 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$; плотность льда - $0,90 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$; плотность льда - $0,90 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$.
Предел прочности стали, из которой изготовлен цилиндр 550 МПа.
Решение:
Двигатель может совершать работу за счет внутренней энергии окружающей среды и внутренней энергии воды.
Работа льда при его замерзании и расширении определяется по формуле
$A = P \Delta V$, (1)
где $\Delta W = M \left ( \frac{1}{ \rho_{л}} - \frac{1}{ \rho_{в}} \right )$ - увеличение его объема при замерзании, $M$ - масса льда, $\rho_{л}, \rho_{в}$ - плотности льда и воды, соответственно.
Массу льда, которую можно заморозить найдем из уравнения теплового баланса
$M \lambda = mL \Rightarrow M = m \frac{L}{ \lambda}$, (2)
где $m$ - масса имеющегося в нашем распоряжении жидкого азота, $L$ - удельная теплота парообразования азота, $\lambda$ - удельная теплота кристаллизации воды. Максимальное давление льда опреляется прочностью стенок цилиндра двигателя. Выделим на поверхности цилиндра узкую полоску длиной $l$ и видимую с оси цилиндра под малым углом $\alpha$. Сила давления льда
$F = PS_{0} = P l \alpha R$ (3)
уравновешивается силами механического напряжения в стенках цилиндра Т
$T = \sigma_{пр} S_{1} = \sigma_{пр} lh$. (4)
В формулах (3)-(4) обозначено: $R$ - радиус цилиндра, $h$ - толщина его стенок, $\sigma_{пр}$ - предел прочности стали, $S_{0}$ - площадь выделенной полоски, $S_{1}$ - площадь ее боковых торцов. Записывая условие равновесия выделенного элемента в проекции на радиальное направление, получим
$F = 2T \sin \frac{ \alpha}{2}, \Rightarrow F = T \alpha, \Rightarrow PlR \alpha = \sigma_{пр} lh \alpha$. (5)
При выводе последнего соотношения учтена малость угла $\alpha$.
Из уравнения (5) определяем максимально возможное давление льда
$P = \frac{ \sigma_{пр} h}{R}$. (6)
Таким образом, максимальная работа, которую может совершить двигатель, рассчитывается по формуле
$A = \frac{ \sigma_{пр} h}{R} m \frac{L}{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{л}} - \frac{1}{ \rho_{в}} \right ) \approx 280 Дж$.
Коэффициент полезного действия определяется отношением совершенной работы к количеству полученной теплоты, которая в данном случае равна количеству теплоты, которое требуется на плавление льда $(Q = M \lambda)$
$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{ \sigma_{пр} h}{R \alpha} \left ( \frac{1}{ \rho_{л}} - \frac{1}{ \rho_{в}} \right ) \approx 1,4 \cdot 10^{-3}$. (8)
