Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2661
2017-04-02 
Тонкую стеклянную трубку длиной $l = 1,0 м$ опускают вертикально в воду так, что ее нижний конец слегка касается воды. При этом вода поднимается в трубке на высоту $h_{0} = 14 мм$. На сколько поднимется воды в трубке если перед опусканием плотно закрыть ее верхний конец? Атмосферное давление нормальное.
Решение:
Вода в трубке поднимается благодаря капиллярным силам. Условие равновесия столба воды в трубке имеет вид
$P + \rho gh = P_{Лап} + P_{0}$, (1)
где $P$ - давление газа в трубке, $\rho gh$ - гидростатическое давление столбика воды, $h$ - высота столба воды в трубке, $\rho$ - плотность воды, $P_{Лап}$ - лапласовское давление под искривленной поверхностью, $P_{0}$ - атмосферное давление. При открытом верхнем конце трубки, давление газа внутри трубки равно атмосферному, поэтому
$\rho g h_{0} = P_{Лап}$. (2)
Если трубка закрыта, то давление внутри нее можно найти из закона Бойля-Мариотта
$P(l - h) = P_{0}l$. (3)
Выражая из уравнений (2) - (3) лапласовское давление и давление газа внутри трубки и подставляя их в условия равновесия (1), получим квадратное уравнения для определения $h$:
$\frac{P_{0}l}{l-h} + \rho gh = \rho gh_{0} + P_{0}, \Rightarrow \frac{P_{0}h}{l-h} = \rho g (h_{0} - h)$. (4)
Решение этого уравнения имеет вид
$h = \frac{ \frac{P_{0}}{ \rho g} \pm \sqrt{ \left ( \frac{P_{0}}{ \rho g} \right )^{2} - 4lh_{0}}}{2}$; (5)
Больший корень физического смысла не имеет, поэтому ответ данной задачи
$h = \frac{ \frac{P_{0}}{ \rho g} - \sqrt{ \left ( \frac{P}{ \rho g} \right )^{2} - 4lh_{0}}}{2} \approx \frac{ \rho gl}{P_{0}} h_{0} \approx 13 см$. (6)
Тонкую стеклянную трубку длиной $l = 1,0 м$ опускают вертикально в воду так, что ее нижний конец слегка касается воды. При этом вода поднимается в трубке на высоту $h_{0} = 14 мм$. На сколько поднимется воды в трубке если перед опусканием плотно закрыть ее верхний конец? Атмосферное давление нормальное.
Решение:
Вода в трубке поднимается благодаря капиллярным силам. Условие равновесия столба воды в трубке имеет вид
$P + \rho gh = P_{Лап} + P_{0}$, (1)
где $P$ - давление газа в трубке, $\rho gh$ - гидростатическое давление столбика воды, $h$ - высота столба воды в трубке, $\rho$ - плотность воды, $P_{Лап}$ - лапласовское давление под искривленной поверхностью, $P_{0}$ - атмосферное давление. При открытом верхнем конце трубки, давление газа внутри трубки равно атмосферному, поэтому
$\rho g h_{0} = P_{Лап}$. (2)
Если трубка закрыта, то давление внутри нее можно найти из закона Бойля-Мариотта
$P(l - h) = P_{0}l$. (3)
Выражая из уравнений (2) - (3) лапласовское давление и давление газа внутри трубки и подставляя их в условия равновесия (1), получим квадратное уравнения для определения $h$:
$\frac{P_{0}l}{l-h} + \rho gh = \rho gh_{0} + P_{0}, \Rightarrow \frac{P_{0}h}{l-h} = \rho g (h_{0} - h)$. (4)
Решение этого уравнения имеет вид
$h = \frac{ \frac{P_{0}}{ \rho g} \pm \sqrt{ \left ( \frac{P_{0}}{ \rho g} \right )^{2} - 4lh_{0}}}{2}$; (5)
Больший корень физического смысла не имеет, поэтому ответ данной задачи
$h = \frac{ \frac{P_{0}}{ \rho g} - \sqrt{ \left ( \frac{P}{ \rho g} \right )^{2} - 4lh_{0}}}{2} \approx \frac{ \rho gl}{P_{0}} h_{0} \approx 13 см$. (6)
