Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2660
2017-04-02 
В схеме, показанной на рисунке, отношение емкостей конденсаторов равно $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \frac{4}{3}$, напряжение одного источника $U_{0} = 10 B$. При каком напряжении второго источника $U_{1}$, потенциалы точек $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$, будут образовывать геометрическую прогрессию? Чему равны потенциалы этих точек?
Решение:
Обозначим потенциалы точек $A_{k} (k = 1,2, \cdots 5)$ через $\phi_{k}$, заряды конденсаторов емкостями $C_{1} - q_{k}^{ \prime}$, а кондесаторов $C_{2} - q_{k}$, соответсвенно. Расставим также предположительные знаки зарядов на пластинах конденсаторов.
Так как потенциалы точек $A_{k} (k = 1,2, \cdots 5)$ должны образовывать геометрическую прогрессию, то
$\phi_{k} = \phi_{0} \lambda^{k}$. (1)
где $\lambda$ - неизвестный пока знаменатель прогрессии, а $\phi_{0} = U_{0}$.
Используя закон сохранения электрического заряда, можно записать соотношения между зарядами конденсаторов, подключенных к точке $A_{1}$:
$q_{1}^{ \prime} = q_{1} + q_{2}^{ \prime}$. (2)
Заряды конденсаторов связаны с разностью потенциалов соотношением $q = C \Delta \phi$. Следовательно,
$q_{1} = C_{2} \phi_{1} = \lambda C_{2} \phi_{0}$
$q_{1}^{ \prime} = C_{1} ( \phi_{0} - \phi_{1}) = (1 - \lambda) C_{1} \phi_{0}$. (3)
$q_{2}^{ \prime} = C_{1} ( \phi_{1} - \phi_{21}) = \lambda (1 - \lambda) C_{1} \phi_{0}$
Подставляя значения зарядов в уравнение (2), получим уравнение из решения которого можно найти значение величины $\lambda$
$(1 - \lambda) C_{1} \phi_{0} = \lambda C_{2} \phi_{0} + \lambda (1 - \lambda) C_{1} \phi_{0}$,
или
$(1 - \lambda) = \lambda \frac{C_{2}}{C_{1}} + \lambda (1 - \lambda)$. (4)
Корни этого квадратного уравнения находятся по стандартной формуле
$\lambda_{1,2} = \frac{2 + \frac{C_{2}}{C_{1}} \pm \sqrt{ \left ( 2 + \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{2} - 4}}{2}$. (5)
Используя значение отношения емкостей конденсаторов, получим
$\lambda_{1} = 3, \lambda_{2} = \frac{1}{3}$. (6)
Чтобы условие задачи было удовлетворено, необходимо, чтобы напряжение второго источника удовлетворяло соотношению
$U_{1} = \phi_{5} = U_{0} \lambda^{5} = 3^{ \pm 5} U_{0}$. (7)
Таким образом, задача имеет два решения
$U_{1} = 3^{5} U_{0} = 0,24 \cdot 10^{3} В, U_{1} = 3^{-5} U_{0} = 0,043 В$.
Потенциалы точек образуют прогрессию:
в первом случае - 10, - 30, - 90, - 270, - 810, - 2430 В;
во втором - 10, - 3.3, - 1.1, - 0.37, - 0.12, - 0.041 В.
Заметим, что существование двух решений следует из симметрии рассматриваемой электрической схемы.
В схеме, показанной на рисунке, отношение емкостей конденсаторов равно $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \frac{4}{3}$, напряжение одного источника $U_{0} = 10 B$. При каком напряжении второго источника $U_{1}$, потенциалы точек $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$, будут образовывать геометрическую прогрессию? Чему равны потенциалы этих точек?
Решение:
Обозначим потенциалы точек $A_{k} (k = 1,2, \cdots 5)$ через $\phi_{k}$, заряды конденсаторов емкостями $C_{1} - q_{k}^{ \prime}$, а кондесаторов $C_{2} - q_{k}$, соответсвенно. Расставим также предположительные знаки зарядов на пластинах конденсаторов.
Так как потенциалы точек $A_{k} (k = 1,2, \cdots 5)$ должны образовывать геометрическую прогрессию, то
$\phi_{k} = \phi_{0} \lambda^{k}$. (1)
где $\lambda$ - неизвестный пока знаменатель прогрессии, а $\phi_{0} = U_{0}$.
Используя закон сохранения электрического заряда, можно записать соотношения между зарядами конденсаторов, подключенных к точке $A_{1}$:
$q_{1}^{ \prime} = q_{1} + q_{2}^{ \prime}$. (2)
Заряды конденсаторов связаны с разностью потенциалов соотношением $q = C \Delta \phi$. Следовательно,
$q_{1} = C_{2} \phi_{1} = \lambda C_{2} \phi_{0}$
$q_{1}^{ \prime} = C_{1} ( \phi_{0} - \phi_{1}) = (1 - \lambda) C_{1} \phi_{0}$. (3)
$q_{2}^{ \prime} = C_{1} ( \phi_{1} - \phi_{21}) = \lambda (1 - \lambda) C_{1} \phi_{0}$
Подставляя значения зарядов в уравнение (2), получим уравнение из решения которого можно найти значение величины $\lambda$
$(1 - \lambda) C_{1} \phi_{0} = \lambda C_{2} \phi_{0} + \lambda (1 - \lambda) C_{1} \phi_{0}$,
или
$(1 - \lambda) = \lambda \frac{C_{2}}{C_{1}} + \lambda (1 - \lambda)$. (4)
Корни этого квадратного уравнения находятся по стандартной формуле
$\lambda_{1,2} = \frac{2 + \frac{C_{2}}{C_{1}} \pm \sqrt{ \left ( 2 + \frac{C_{2}}{C_{1}} \right )^{2} - 4}}{2}$. (5)
Используя значение отношения емкостей конденсаторов, получим
$\lambda_{1} = 3, \lambda_{2} = \frac{1}{3}$. (6)
Чтобы условие задачи было удовлетворено, необходимо, чтобы напряжение второго источника удовлетворяло соотношению
$U_{1} = \phi_{5} = U_{0} \lambda^{5} = 3^{ \pm 5} U_{0}$. (7)
Таким образом, задача имеет два решения
$U_{1} = 3^{5} U_{0} = 0,24 \cdot 10^{3} В, U_{1} = 3^{-5} U_{0} = 0,043 В$.
Потенциалы точек образуют прогрессию:
в первом случае - 10, - 30, - 90, - 270, - 810, - 2430 В;
во втором - 10, - 3.3, - 1.1, - 0.37, - 0.12, - 0.041 В.
Заметим, что существование двух решений следует из симметрии рассматриваемой электрической схемы.
