Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2659
2017-04-02 
Две металлические пластины равных площадей $S$ расположены горизонтально, нижняя закреплена, а верхняя подвешена на пружине жесткостью $k$. В положении равновесия расстояние между пластинами равно $h_{0}$. Какое максимальное электрическое напряжение можно подать на пластины, чтобы при этом они не соединились?
Решение:
Сила, действующая на подвешенную пластину, вычисляется с помощью «цепочки» формул
$F = \frac{qE}{2} = \frac{S \sigma E}{2} = \frac{ \epsilon_{0} E^{2}}{2} S = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{2h^{2}}$, (1)
где $q$ - электрический заряд одной пластины, $\sigma$ - поверхностная плотность заряда на пластине, $E = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0}}$ - напряженность поля, создаваемого одной пластиной (естественно, напряженность поля внутри конденсатора $E_{1} = \frac{U}{h}$ в два раза больше).
Условие равновесия пластины имеет вид
$mg + \frac{ \epsilon_{0} U^{2} S}{2h^{2}} = k(l - l_{0} -h)$. (2)
где $(l - l_{0} - h)$ - сила упругости пружины, $l$ - расстояние от нижней неподвижной платины до точки подвеса, $l_{0}$ - длина недеформированной пружины, $h$ - расстояние между пластинами. Если напряжение между пластинами отсутствует, то $h= h_{0}$, тогда выполняется условие
$mg = k(l - l_{0} - h_{0})$. (3)
Из уравнений (2)-(3) следует
$\frac{ \epsilon_{0} U^{2} S}{2h^{2}} = k (h_{0} - h)$. (4)
Пластины смогут находится в положении равновесия, если уравнение (4) имеет корни, если в качестве неизвестной рассматривать величину $h$. Перепишем уравнение (4) в виде
$\frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{2kh^{2}}+ h = h_{0}$ (5)
и найдем минимум функции $f(h) = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S }{2kh^{2}} + h$. Производная от этой функции $f^{ \prime}(h) = - \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{kh^{3}} + I$ обращается в нуль при $h = h^{*} = \sqrt[3]{ \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{k}}$. Поэтому минимальное значение рассматриваемой функции определяется выражением $f_{min} = f(h^{*}) = \frac{3}{2} h^{*}$. Уравнение (4) и равносильное ему уравнение (5) будут иметь корни, если $f_{min} < h_{0}$. Таким образом, условия существования положения равновесия имеет вид
$\frac{3}{2} \sqrt[3]{ \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{k}} < h_{0}$. (6)
Из этого неравенства находим
$U < \frac{8}{27} \frac{kh_{0}^{3}}{ \epsilon_{0}S}$. (7)
Теперь необходимо убедится, что хотя бы одно из решений уравнения (4) описывает устойчивое положение равновесия.
Для этого построим схематически графики зависимостей сил упругости пружины и силы электрического притяжения от расстояния между пластинами.
Легко показать, что большему корню $h_{1}$ соответствует положение устойчивого равновесия, а меньшему $h_{2}$ - положение неустойчивого равновесия.
Таким образом, при выполнении неравенства (7), пластины могут находится на некотором расстоянии друг от друга.
Две металлические пластины равных площадей $S$ расположены горизонтально, нижняя закреплена, а верхняя подвешена на пружине жесткостью $k$. В положении равновесия расстояние между пластинами равно $h_{0}$. Какое максимальное электрическое напряжение можно подать на пластины, чтобы при этом они не соединились?
Решение:
Сила, действующая на подвешенную пластину, вычисляется с помощью «цепочки» формул
$F = \frac{qE}{2} = \frac{S \sigma E}{2} = \frac{ \epsilon_{0} E^{2}}{2} S = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{2h^{2}}$, (1)
где $q$ - электрический заряд одной пластины, $\sigma$ - поверхностная плотность заряда на пластине, $E = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0}}$ - напряженность поля, создаваемого одной пластиной (естественно, напряженность поля внутри конденсатора $E_{1} = \frac{U}{h}$ в два раза больше).
Условие равновесия пластины имеет вид
$mg + \frac{ \epsilon_{0} U^{2} S}{2h^{2}} = k(l - l_{0} -h)$. (2)
где $(l - l_{0} - h)$ - сила упругости пружины, $l$ - расстояние от нижней неподвижной платины до точки подвеса, $l_{0}$ - длина недеформированной пружины, $h$ - расстояние между пластинами. Если напряжение между пластинами отсутствует, то $h= h_{0}$, тогда выполняется условие
$mg = k(l - l_{0} - h_{0})$. (3)
Из уравнений (2)-(3) следует
$\frac{ \epsilon_{0} U^{2} S}{2h^{2}} = k (h_{0} - h)$. (4)
Пластины смогут находится в положении равновесия, если уравнение (4) имеет корни, если в качестве неизвестной рассматривать величину $h$. Перепишем уравнение (4) в виде
$\frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{2kh^{2}}+ h = h_{0}$ (5)
и найдем минимум функции $f(h) = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S }{2kh^{2}} + h$. Производная от этой функции $f^{ \prime}(h) = - \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{kh^{3}} + I$ обращается в нуль при $h = h^{*} = \sqrt[3]{ \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{k}}$. Поэтому минимальное значение рассматриваемой функции определяется выражением $f_{min} = f(h^{*}) = \frac{3}{2} h^{*}$. Уравнение (4) и равносильное ему уравнение (5) будут иметь корни, если $f_{min} < h_{0}$. Таким образом, условия существования положения равновесия имеет вид
$\frac{3}{2} \sqrt[3]{ \frac{ \epsilon_{0} U^{2}S}{k}} < h_{0}$. (6)
Из этого неравенства находим
$U < \frac{8}{27} \frac{kh_{0}^{3}}{ \epsilon_{0}S}$. (7)
Теперь необходимо убедится, что хотя бы одно из решений уравнения (4) описывает устойчивое положение равновесия.
Для этого построим схематически графики зависимостей сил упругости пружины и силы электрического притяжения от расстояния между пластинами.
Легко показать, что большему корню $h_{1}$ соответствует положение устойчивого равновесия, а меньшему $h_{2}$ - положение неустойчивого равновесия.
Таким образом, при выполнении неравенства (7), пластины могут находится на некотором расстоянии друг от друга.
