Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2658
2017-04-02 
Две шайбы массами $m$ и $2m$, связанные невесомой нитью длиной $l$ лежат на гладкой горизонтальной поверхности так, что нить полностью растянута. Шайбе массой $m$ толчком сообщают скорость $V_{0}$, направленную перпендикулярно нити. Запишите законы движения шайб в системе отсчета, показанной на рисунке. Изобразите примерно их траектории.
Решение:
Движение связанных шайб можно представить как суперпозицию поступательного равномерного движения центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс. Координату центра масс С найдем по формуле
$y_{C} = \frac{ml}{m+2m} = \frac{l}{3}$, (1)
Скорость центра масс
$V = \frac{mV_{0}}{3m} = \frac{V_{0}}{3}$, (2)
а угловая скорость вращения
$\omega = \frac{V_{0}}{l}$. (3)
В таком представлении зависимости координат шайб от времени почти очевидны:
$\begin{cases} x_{1} = \frac{V_{0}}{3} t + \frac{2}{3} l \sin \frac{V_{0}}{l} t \\ y_{1} = \frac{l}{3} + \frac{2}{3} l \cos \frac{V_{0}}{l} t \end{cases}$; $\begin{cases} x_{2} = \frac{V_{0}}{3} t - \frac{1}{3} l \sin \frac{V_{0}}{l} t \\ y_{2} = \frac{l}{3} - \frac{1}{3} l \cos \frac{V_{0}}{l} t \end{cases}$. (4)
Для построения траекторий можно нарисовать нескольких положений связанных шайб при изменении угла поворота, например на $45^{ \circ}$, и соединить их плавными линиями. Для этого удобно переписать уравнения движения в зависимости от угла поворота $\phi = \frac{V_{0}}{l} t$:
$\begin{cases} x_{1} = \frac{l}{3} ( \phi + 2 \sin \phi) \\ y_{1} = \frac{l}{3} (1 + 2 \cos \phi ) \end{cases}$; $\begin{cases} x_{2} = \frac{l}{3} ( \phi - \sin \phi) \\ y_{2} = \frac{l}{3} (1 - \cos \phi ) \end{cases}$. (6)
Результат построения показан на следующем рисунке
Более эффектная картинка получится, если уменьшить шаг изменения угла поворота
Траекториями движения являются две циклоиды, первая из которых -удлиненная.
Две шайбы массами $m$ и $2m$, связанные невесомой нитью длиной $l$ лежат на гладкой горизонтальной поверхности так, что нить полностью растянута. Шайбе массой $m$ толчком сообщают скорость $V_{0}$, направленную перпендикулярно нити. Запишите законы движения шайб в системе отсчета, показанной на рисунке. Изобразите примерно их траектории.
Решение:
Движение связанных шайб можно представить как суперпозицию поступательного равномерного движения центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс. Координату центра масс С найдем по формуле
$y_{C} = \frac{ml}{m+2m} = \frac{l}{3}$, (1)
Скорость центра масс
$V = \frac{mV_{0}}{3m} = \frac{V_{0}}{3}$, (2)
а угловая скорость вращения
$\omega = \frac{V_{0}}{l}$. (3)
В таком представлении зависимости координат шайб от времени почти очевидны:
$\begin{cases} x_{1} = \frac{V_{0}}{3} t + \frac{2}{3} l \sin \frac{V_{0}}{l} t \\ y_{1} = \frac{l}{3} + \frac{2}{3} l \cos \frac{V_{0}}{l} t \end{cases}$; $\begin{cases} x_{2} = \frac{V_{0}}{3} t - \frac{1}{3} l \sin \frac{V_{0}}{l} t \\ y_{2} = \frac{l}{3} - \frac{1}{3} l \cos \frac{V_{0}}{l} t \end{cases}$. (4)
Для построения траекторий можно нарисовать нескольких положений связанных шайб при изменении угла поворота, например на $45^{ \circ}$, и соединить их плавными линиями. Для этого удобно переписать уравнения движения в зависимости от угла поворота $\phi = \frac{V_{0}}{l} t$:
$\begin{cases} x_{1} = \frac{l}{3} ( \phi + 2 \sin \phi) \\ y_{1} = \frac{l}{3} (1 + 2 \cos \phi ) \end{cases}$; $\begin{cases} x_{2} = \frac{l}{3} ( \phi - \sin \phi) \\ y_{2} = \frac{l}{3} (1 - \cos \phi ) \end{cases}$. (6)
Результат построения показан на следующем рисунке
Более эффектная картинка получится, если уменьшить шаг изменения угла поворота
Траекториями движения являются две циклоиды, первая из которых -удлиненная.
