Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2645
2017-04-02 
Вращающийся вокруг вертикальной оси однородный шар радиуса $R = 10 см$ аккуратно положили в круглое отверстие радиуса $r_{1} = 8,0 см$, проделанное в тонкой горизонтальной плите. Вращение шарика прекратилось через время $t_{1} = 12 с$. Через какое время остановится этот же шар, если его раскрутить до той же начальной скорости и положить в отверстие радиуса $r_{2} = 6,0 см$?
Решение:
При вращении кинетическая энергия шара вследствие работы сил трения перейдет в тепловую. Работа сил трения может быть рассчитана по формуле
$A = FV_{ср} t$. (1)
где $F$ - сумма модулей сил трения, действующих на отдельные участки линии соприкосновения шара и плиты; $V_{ср} = \frac{ \omega_{0}r}{2}$ - средняя скорость движения точек соприкосновения, $\omega_{0}$ - начальная угловая скорость вращения (так как все силы действующие на шарик постоянны, то его движение будет равнозамедленным, следовательно средняя скорость до остановки равна половине начальной); $t$ - время движения. Величину $F$ найдем по закону Кулона-Амонтона
$F = \mu N$, (2)
где $N$ - суммарная сила нормальной реакции плиту, действующей на шарик. Так как центр масс шарика покоится, сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей сил реакции
$mg N \cos \alpha = N \frac{ \sqrt{ R^{2} - r^{2}}}{2}$. (3)
откуда следует
$N = mg \frac{R}{ \sqrt{R^{2} - r^{2}}}$. (4)
Подставив выражения (2)-(4) в формулу (1), получим
$A = \mu mg \frac{R}{ \sqrt{ R^{2} - r^{2}}} \frac{ \omega_{0} r}{2} t$. (5)
Начальные скорости вращения шарика в обоих случаях равны, поэтому равны и его кинетические энергии, следовательно, равны и работы сил трения. Таким образом, из уравнения (5) следует соотношение
$\frac{r_{1}t_{1}}{ \sqrt{R^{2} - r_{1}^{2}}} = \frac{r_{2}t_{2}}{ \sqrt{R^{2} - r_{2}^{2}}}$, (6)
из которого находим окончательный ответ задачи
$t_{2}= \frac{r_{1} \sqrt{R^{2} - r_{2}^{2}}}{r_{2} \sqrt{ R^{2} - r_{1}^{2}}} t_{1} \approx 21 с$.
Вращающийся вокруг вертикальной оси однородный шар радиуса $R = 10 см$ аккуратно положили в круглое отверстие радиуса $r_{1} = 8,0 см$, проделанное в тонкой горизонтальной плите. Вращение шарика прекратилось через время $t_{1} = 12 с$. Через какое время остановится этот же шар, если его раскрутить до той же начальной скорости и положить в отверстие радиуса $r_{2} = 6,0 см$?
Решение:
При вращении кинетическая энергия шара вследствие работы сил трения перейдет в тепловую. Работа сил трения может быть рассчитана по формуле
$A = FV_{ср} t$. (1)
где $F$ - сумма модулей сил трения, действующих на отдельные участки линии соприкосновения шара и плиты; $V_{ср} = \frac{ \omega_{0}r}{2}$ - средняя скорость движения точек соприкосновения, $\omega_{0}$ - начальная угловая скорость вращения (так как все силы действующие на шарик постоянны, то его движение будет равнозамедленным, следовательно средняя скорость до остановки равна половине начальной); $t$ - время движения. Величину $F$ найдем по закону Кулона-Амонтона
$F = \mu N$, (2)
где $N$ - суммарная сила нормальной реакции плиту, действующей на шарик. Так как центр масс шарика покоится, сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей сил реакции
$mg N \cos \alpha = N \frac{ \sqrt{ R^{2} - r^{2}}}{2}$. (3)
откуда следует
$N = mg \frac{R}{ \sqrt{R^{2} - r^{2}}}$. (4)
Подставив выражения (2)-(4) в формулу (1), получим
$A = \mu mg \frac{R}{ \sqrt{ R^{2} - r^{2}}} \frac{ \omega_{0} r}{2} t$. (5)
Начальные скорости вращения шарика в обоих случаях равны, поэтому равны и его кинетические энергии, следовательно, равны и работы сил трения. Таким образом, из уравнения (5) следует соотношение
$\frac{r_{1}t_{1}}{ \sqrt{R^{2} - r_{1}^{2}}} = \frac{r_{2}t_{2}}{ \sqrt{R^{2} - r_{2}^{2}}}$, (6)
из которого находим окончательный ответ задачи
$t_{2}= \frac{r_{1} \sqrt{R^{2} - r_{2}^{2}}}{r_{2} \sqrt{ R^{2} - r_{1}^{2}}} t_{1} \approx 21 с$.
