Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2644
2017-04-02 
Небольшой шарик падает из точки А на массивную плиту, закрепленную на высоте $h = 1,0 м$ от поверхности земли и ориентированную под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту. После упругого отражения от плиты шарик падает на поверхность земли в точке С на расстоянии $S = 4,0 м$ от вертикальной прямой АВ. Найдите время движения шарика до удара о землю.
На какой высоте необходимо расположить плиту (не меняя ее ориентации), чтобы расстояние $S$ было максимально при неизменном начальном положении шарика в точке А ? Чему оно равно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Так как плита наклонена под углом $45^{ \circ}$ к горизонту, то после удара скорость шарика $\vec{V}_{1}$ будет направлена горизонтально. Поэтому, движение удара шарика описывается после уравнениями
$\begin{cases} S = V_{1}t_{2} \\ h = \frac{gt_{2}^{2}}{2} \end{cases}$. (1)
где $t_{2}$ - время движения от удара о плиту до падения на землю. Из системы уравнений (1) находим
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2h}{g}}; V_{1} = S \sqrt{ \frac{g}{2h}}$. (2)
Зная скорость шарика перед ударом о плиту, найдем время его движения от начальной точки А до удара
$t_{1} = \frac{V_{1}}{g} = \frac{S}{ \sqrt{2gh}}$. (3)
Полное время движения шарика рассчитаем по формуле
$t = t_{1} + t_{2} = \frac{S}{ \sqrt{2gh}} + \sqrt{ \frac{2h}{g}} \approx 1,35 с$. (4)
Используя выражение (3), найдем высоту $H$ точки А над уровнем земли
$H = h + \frac{gt_{1}^{2}}{2} = h + \frac{S^{2}}{4h} = 50 м$. (5)
Найдем высоту $h_{0}$, на которой необходимо расположить плиту, чтобы дальность полета $S$ была максимальна. Пройдя в свободном падении путь $(H - h_{0})$, шарик наберет скорость $V_{1} = \sqrt{2g(H-h_{0})}$. Как следует из формул (2), после отражения он пролетит до падения на землю расстояние
$S = V_{1} \sqrt{ \frac{2h_{0}}{g}} = 2 \sqrt{h_{0} (H-h_{0})}$. (6)
Подкоренное выражение представляет собой квадратную функцию от $h_{0}$, которая в данном случае достигает максимума при
$h_{0} = \frac{H}{2} = 2,5 м$, при этом $S_{max} = H = 5,0 м$
Небольшой шарик падает из точки А на массивную плиту, закрепленную на высоте $h = 1,0 м$ от поверхности земли и ориентированную под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту. После упругого отражения от плиты шарик падает на поверхность земли в точке С на расстоянии $S = 4,0 м$ от вертикальной прямой АВ. Найдите время движения шарика до удара о землю.
На какой высоте необходимо расположить плиту (не меняя ее ориентации), чтобы расстояние $S$ было максимально при неизменном начальном положении шарика в точке А ? Чему оно равно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Так как плита наклонена под углом $45^{ \circ}$ к горизонту, то после удара скорость шарика $\vec{V}_{1}$ будет направлена горизонтально. Поэтому, движение удара шарика описывается после уравнениями
$\begin{cases} S = V_{1}t_{2} \\ h = \frac{gt_{2}^{2}}{2} \end{cases}$. (1)
где $t_{2}$ - время движения от удара о плиту до падения на землю. Из системы уравнений (1) находим
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2h}{g}}; V_{1} = S \sqrt{ \frac{g}{2h}}$. (2)
Зная скорость шарика перед ударом о плиту, найдем время его движения от начальной точки А до удара
$t_{1} = \frac{V_{1}}{g} = \frac{S}{ \sqrt{2gh}}$. (3)
Полное время движения шарика рассчитаем по формуле
$t = t_{1} + t_{2} = \frac{S}{ \sqrt{2gh}} + \sqrt{ \frac{2h}{g}} \approx 1,35 с$. (4)
Используя выражение (3), найдем высоту $H$ точки А над уровнем земли
$H = h + \frac{gt_{1}^{2}}{2} = h + \frac{S^{2}}{4h} = 50 м$. (5)
Найдем высоту $h_{0}$, на которой необходимо расположить плиту, чтобы дальность полета $S$ была максимальна. Пройдя в свободном падении путь $(H - h_{0})$, шарик наберет скорость $V_{1} = \sqrt{2g(H-h_{0})}$. Как следует из формул (2), после отражения он пролетит до падения на землю расстояние
$S = V_{1} \sqrt{ \frac{2h_{0}}{g}} = 2 \sqrt{h_{0} (H-h_{0})}$. (6)
Подкоренное выражение представляет собой квадратную функцию от $h_{0}$, которая в данном случае достигает максимума при
$h_{0} = \frac{H}{2} = 2,5 м$, при этом $S_{max} = H = 5,0 м$
