Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2643
2017-04-02 
Вода движется со скоростью $v = 1,0 м/с$ по стальной трубе радиуса $r = 5,0 см$. В некоторый момент времени трубу практически мгновенно перекрывают с помощью задвижки, при этом давление в трубе резко повышается (гидродинамический удар). Какова должна быть минимальная толщина стенок трубы, чтобы обеспечить пятикратный запас прочности при резком перекрывании трубы? Плотность воды принять равной $\rho = 1,0 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$; скорость звука в воде $c = 1,5 \cdot 10^{3} м/с$; предел прочности стали $\sigma_{пр} = 0,35 ГПа$.
Решение:
Гидродинамический удар в трубах возникает при резкой остановке течения воды, в следствие возникновения сил препятсвующих этому движению. После перекрывания трубы в жидкости возникает волна сжатия которая движется со скоростью звука в воде $c$. Следовательно за малый промежуток времени $\Delta t$ останавливается столб воды длиной $l = c \Delta t$. Сила $F$, которая приводит к остановке, с одной стороны равна $PS$, (где $P$ - избыточное давление в трубе, $S$ -площадь поперечного сечения трубы), а с другой определяется вторым законом Ньютона $F \Delta t = m \Delta V$. Приравнивая эти выражения, получим
$c \Delta t S \rho V = PS \Delta t$.
Откуда находим избыточное давление
$P = \rho cV$.
Интересно отметить, что в данном случае численное значение $P \approx 1,5 \cdot 10^{6} Па \approx 15 атм$.
Найдем теперь толщину стенок трубы, которые могут выдержать пятикратное превышение этого давления. Выделим на стенке трубы небольшой участок длиной $l$ и видимый из центра под малым углом $\Delta \alpha$. Сила давления $P \Delta S = Pr \Delta \alpha l$ должна быть уравновешена силами упругости, возникающими в стенках трубы $T$, модуль суммы которых равен
$T \Delta \alpha = \sigma hl \Delta \alpha$,
где $\sigma$ - механическое напряжение в стенках трубы, которое не превышает $\sigma_{пр}$. Учитывая, что давление должно в $n = 5$ раз превышать давление гидродинамического удара, получим из условия равновесия
$ncV \rho r \Delta \alpha l = \sigma_{пр} lh \Delta \alpha$.
Из этой формулы следует
$h = \frac{nc \rho Vr}{ \sigma_{пр}} \approx 1,1 \cdot 10^{-3} м$
Вода движется со скоростью $v = 1,0 м/с$ по стальной трубе радиуса $r = 5,0 см$. В некоторый момент времени трубу практически мгновенно перекрывают с помощью задвижки, при этом давление в трубе резко повышается (гидродинамический удар). Какова должна быть минимальная толщина стенок трубы, чтобы обеспечить пятикратный запас прочности при резком перекрывании трубы? Плотность воды принять равной $\rho = 1,0 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$; скорость звука в воде $c = 1,5 \cdot 10^{3} м/с$; предел прочности стали $\sigma_{пр} = 0,35 ГПа$.
Решение:
Гидродинамический удар в трубах возникает при резкой остановке течения воды, в следствие возникновения сил препятсвующих этому движению. После перекрывания трубы в жидкости возникает волна сжатия которая движется со скоростью звука в воде $c$. Следовательно за малый промежуток времени $\Delta t$ останавливается столб воды длиной $l = c \Delta t$. Сила $F$, которая приводит к остановке, с одной стороны равна $PS$, (где $P$ - избыточное давление в трубе, $S$ -площадь поперечного сечения трубы), а с другой определяется вторым законом Ньютона $F \Delta t = m \Delta V$. Приравнивая эти выражения, получим
$c \Delta t S \rho V = PS \Delta t$.
Откуда находим избыточное давление
$P = \rho cV$.
Интересно отметить, что в данном случае численное значение $P \approx 1,5 \cdot 10^{6} Па \approx 15 атм$.
Найдем теперь толщину стенок трубы, которые могут выдержать пятикратное превышение этого давления. Выделим на стенке трубы небольшой участок длиной $l$ и видимый из центра под малым углом $\Delta \alpha$. Сила давления $P \Delta S = Pr \Delta \alpha l$ должна быть уравновешена силами упругости, возникающими в стенках трубы $T$, модуль суммы которых равен
$T \Delta \alpha = \sigma hl \Delta \alpha$,
где $\sigma$ - механическое напряжение в стенках трубы, которое не превышает $\sigma_{пр}$. Учитывая, что давление должно в $n = 5$ раз превышать давление гидродинамического удара, получим из условия равновесия
$ncV \rho r \Delta \alpha l = \sigma_{пр} lh \Delta \alpha$.
Из этой формулы следует
$h = \frac{nc \rho Vr}{ \sigma_{пр}} \approx 1,1 \cdot 10^{-3} м$
