Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2640
2017-04-02 
Для измерения скорости звука в воздухе была использована следующая установка: три одинаковых точечных источника звука с частотой $\nu = 2950 Гц$ расположены на одной прямой на расстоянии $d = 1,50 м$ друг от друга. Вдоль прямой, проходящей через центральный источник и перпендикулярной линии источников, проводят измерения громкости звука. Полученная зависимость громкости (в относительных единицах) от х - расстояния до центрального источника приведена на графике. Определите по этим данным скорость звука с максимально возможной точностью. Оцените погрешность вашего результата.
Решение:
В данном случае наблюдается явление интерференции звуковых волн. На полученную зависимость громкости звука от координаты накладываются посторонние шумы, тем не менее, интерференционные максимумы прослеживаются достаточно четко. В предположении, что все источники ислучают синфазно, условие максимума имеет вид - разность хода $\Delta l$ между волнами от $S_{1}, S_{3}$ и $S_{2}$ должна равняться целому числу длин волн:
$\Delta l = \sqrt{x_{k}^{2} + d^{2}} - x_{k} = k \lambda$. (1)
где $x_{k}$ - координата $k$-го максимума. По представленному графику мы не можем определить порядок максимума, поэтому пронумеруем их в порядке следования $x_{n}$. Определим по графику численные значения координат максимумов и для каждого из них по формуле (1) вычислим значение разности хода $\Delta l_{n}$, тогда разности $\Delta l_{n} - \Delta l_{n-1}$ должны приближенно равняться длине звуковой волны. Зная длину волны $\lambda$ и ее частоту $\nu$ скорость волны с можно вычислить по формуле
$c = \lambda \nu$. (2)
Результаты обработки графика представлены на рисунке и в таблице.
Как следует из полученных результатов, сделанные предположения подтверждаются, различия в последнем столбце могут быть отнесены на счет неточностей снятия данных из исходного графика. Чтобы увеличить точность определения длины волны и оценить ее погрешность можно обработать данные последнего столбца стандартными методами обработки результатов измерений. В этом случае окончательный результат
$\lambda = (0,12 \pm 0,02) м$. Тогда скорость звука $c = (3,5 \pm 0,6) \cdot 10^{2} м/с$.
Более предпочтительной является обработка графическим методом с использованием метода наименьших квадратов. Постоим график зависимости разности хода $\Delta l_{n}$ от номера $n$.
Все точки этого графика ложатся на одну прямую, коэффициент наклона которой равен длине волны. Расчет этого коэффициента по методу наименьших квадратов приводит к результату
$\lambda = (0,118 \pm 0,012) м$
Соответственно скорость звука
$c = (3,5 \pm 0,3) \cdot 10^{2} м/с$
Как видите, графическая обработка приводит к тому же численному значению, но с меньшей погрешностью.
Строго говоря, из-за уменьшения амплитуды звуковых колебаний по мере удаления от источника положения максимумов интенсивности несколько отличаются от тех, которые следуют из формулы (1). Однако, эти смещения в данном случае меньше погрешностей определения координат максимумов по предложенному графику.
Кстати, данный график расчитан в предположении синфазности, источников равной интесивности. Корректно учтено убывание амплитуды волны, добавлен случайный шум на уровне нескольких процентов.
Для измерения скорости звука в воздухе была использована следующая установка: три одинаковых точечных источника звука с частотой $\nu = 2950 Гц$ расположены на одной прямой на расстоянии $d = 1,50 м$ друг от друга. Вдоль прямой, проходящей через центральный источник и перпендикулярной линии источников, проводят измерения громкости звука. Полученная зависимость громкости (в относительных единицах) от х - расстояния до центрального источника приведена на графике. Определите по этим данным скорость звука с максимально возможной точностью. Оцените погрешность вашего результата.
Решение:
В данном случае наблюдается явление интерференции звуковых волн. На полученную зависимость громкости звука от координаты накладываются посторонние шумы, тем не менее, интерференционные максимумы прослеживаются достаточно четко. В предположении, что все источники ислучают синфазно, условие максимума имеет вид - разность хода $\Delta l$ между волнами от $S_{1}, S_{3}$ и $S_{2}$ должна равняться целому числу длин волн:
$\Delta l = \sqrt{x_{k}^{2} + d^{2}} - x_{k} = k \lambda$. (1)
где $x_{k}$ - координата $k$-го максимума. По представленному графику мы не можем определить порядок максимума, поэтому пронумеруем их в порядке следования $x_{n}$. Определим по графику численные значения координат максимумов и для каждого из них по формуле (1) вычислим значение разности хода $\Delta l_{n}$, тогда разности $\Delta l_{n} - \Delta l_{n-1}$ должны приближенно равняться длине звуковой волны. Зная длину волны $\lambda$ и ее частоту $\nu$ скорость волны с можно вычислить по формуле
$c = \lambda \nu$. (2)
Результаты обработки графика представлены на рисунке и в таблице.
Как следует из полученных результатов, сделанные предположения подтверждаются, различия в последнем столбце могут быть отнесены на счет неточностей снятия данных из исходного графика. Чтобы увеличить точность определения длины волны и оценить ее погрешность можно обработать данные последнего столбца стандартными методами обработки результатов измерений. В этом случае окончательный результат
$\lambda = (0,12 \pm 0,02) м$. Тогда скорость звука $c = (3,5 \pm 0,6) \cdot 10^{2} м/с$.
Более предпочтительной является обработка графическим методом с использованием метода наименьших квадратов. Постоим график зависимости разности хода $\Delta l_{n}$ от номера $n$.
Все точки этого графика ложатся на одну прямую, коэффициент наклона которой равен длине волны. Расчет этого коэффициента по методу наименьших квадратов приводит к результату
$\lambda = (0,118 \pm 0,012) м$
Соответственно скорость звука
$c = (3,5 \pm 0,3) \cdot 10^{2} м/с$
Как видите, графическая обработка приводит к тому же численному значению, но с меньшей погрешностью.
Строго говоря, из-за уменьшения амплитуды звуковых колебаний по мере удаления от источника положения максимумов интенсивности несколько отличаются от тех, которые следуют из формулы (1). Однако, эти смещения в данном случае меньше погрешностей определения координат максимумов по предложенному графику.
Кстати, данный график расчитан в предположении синфазности, источников равной интесивности. Корректно учтено убывание амплитуды волны, добавлен случайный шум на уровне нескольких процентов.
